Rozwiąż równania trygonometryczne (trudne)

[squared]

1. \(\displaystyle{ \tg x + \tg 7x = 1}\)
2. \(\displaystyle{ \sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2}}\)
3. \(\displaystyle{ \ctg \frac{x}{2} - \tg \frac{x}{2} = 2 \tg x}\)
4. \(\displaystyle{ \tg x - \sin x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2}}\)

Przykład 1. już na forum podawałem, ale póki co nikt nie rozwiązał, więc przy tej okazji pozwoliłem sobie ponownie jest zapisać. Na drugi przykład i czwarty (tak jak na pierwszy nie mam pomysłu kompletnie.

Co do trzeciego przykładu ruszyłem ale wyniki w pewnym momencie stają się masakryczne. Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ \ctg \frac{x}{2} - \tg \frac{x}{2} = 2\tg x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\tg \frac{x}{2}} - \tg \frac{x}{2} = \frac{4 \tg \frac{x}{2}}{1 - \tg^{2} \frac{x}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2} = t}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{t} - t = \frac{4t}{1 - t^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 1 - t^{2} = \frac{4t^{2}}{1-t^{2}}}\)
Tu był błąd chyba
\(\displaystyle{ (1-t^{2})^{2}=4t^{2}}\)
\(\displaystyle{ 1 - 2t^{2} + t^{4} = 4t^{2}}\)
\(\displaystyle{ -3t^{4} - 2t^{2} + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 3t^{4} +2t^{2}-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=y, y \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 3y^{2}+2y-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} \vee y=-1}\) - sprzeczność
\(\displaystyle{ t^{2}=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ t= \frac{ \sqrt{3} }{3} \vee t= - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2}= \frac{ \sqrt{3} }{3} \vee \tg \frac{x}{2}= - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + k\pi \vee \frac{x}{2} = - \frac{\pi}{6} + k\pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{3} + 2k\pi \vee x= - \frac{\pi}{3} + 2k\pi}\)

Pomimo odnalezienia błędów dlaje wynik jest błędny. Prawidłowe rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=- \frac{\pi}{4} + k\pi \vee x= \frac{\pi}{4} + k\pi}\).

Proszę bardzo o pomoc w rozwiązaniu wszystki czterech rozwiązań.

[anna_]

Tu jest błąd

\(\displaystyle{ 1-t^{2} - t^{2} + t^{4} = 4t^{4}}\)

Powinnio wyjść
\(\displaystyle{ 3t^4 + 2t^2 - 1=0}\)
a nie
\(\displaystyle{ t^{4}-6t^{2}+1=0}\)

2. \(\displaystyle{ sin3x=sinx(3-4sin^2x)}\)
potem podstawienie
\(\displaystyle{ sin^2x=t, t \in <0;1>}\)

[Justka]

Drugie idzie stosunkowo łatwo:
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \sin 3x = \frac{\cos 2x - \cos 4x}{2}=\frac{1}{2}}\), teraz \(\displaystyle{ \cos 4x= 2\cos^2 2x -1}\) i dostajemy proste równanie kwadratowe.

Czwarte, weźmy sobie \(\displaystyle{ a=\frac{x}{2}}\), stąd
\(\displaystyle{ \tg 2a- \sin 2a = 2\sin^2 a \ \Leftrightarrow \ \sin 2a \left( \frac{1}{\cos 2a} -1 \right)= 2\sin^2a \\ \ \Leftrightarrow \ 2\sin a\cos a \left( \frac{2\sin^2a}{2\cos^2a-1} \right)=2\sin^2a}\)

dalej skracamy co się da i mamy:

\(\displaystyle{ \frac{2\sin a \cos a }{2\cos^2a-1}=1 \ \Leftrightarrow \ tg 2a=1}\)

po drodze przydałyby się założenia

[kamil13151]

jezarek, w pierwszym nie powinno być mnożenie przypadkiem? Mam taki przykład, ale z iloczynem.

[squared]

Tu jest błąd

\(\displaystyle{ 1-t^{2} - t^{2} + t^{4} = 4t^{4}}\)

Powinnio wyjść
\(\displaystyle{ 3t^4 + 2t^2 - 1=0}\)
a nie
\(\displaystyle{ t^{4}-6t^{2}+1=0}\)

Znalazłem sam błąd. Zobacz u góry poprawione rozwiązanie. Mam inne obliczenia niż przedtem, ale nadal jest błędne rozwiązanie. Może i teraz coś złego tak odnajdziesz

Drugie idzie stosunkowo łatwo:
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \sin 3x = \frac{\cos 2x - \cos 4x}{2}}\)

Skąd się to wzięło? Możesz to jakoś rozpisać?

jezarek, w pierwszym nie powinno być mnożenie przypadkiem? Mam taki przykład, ale z iloczynem.

Niestety, plus jest

[Jan Kraszewski]

Mam inne obliczenia niż przedtem, ale nadal jest błędne rozwiązanie. Może i teraz coś złego tak odnajdziesz

\(\displaystyle{ 1 - 2t^{2} + t^{4} = 4t^{2}}\)
\(\displaystyle{ -3t^{4} - 2t^{2} + 1 = 0}\)

Powinno być \(\displaystyle{ t^4-6t^2+1=0}\).

Inna sprawa, że wybrałeś skrajnie nieefektywny sposób rozwiązania, Dużo szybciej jest tak:

\(\displaystyle{ \ctg \frac{x}{2} - \tg \frac{x}{2} = 2 \tg x\\
\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}- \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}= \frac{2\sin x}{\cos x}\\
\frac{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\frac{2\sin x}{\cos x}\\
\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{\cos x}\\
\cos^2x=\sin^2x\\
1-\sin^2x=\sin^2x\\
\sin^2x=\frac 12}\)

itd.

JK

[Justka]

Potwierdzam powinno być: \(\displaystyle{ t^4-6t^2+1=0}\), stąd mamy \(\displaystyle{ t^2=3+2\sqrt{2} \ \vee \ t^2=3-2\sqrt{2}}\). Zauważ, że \(\displaystyle{ 3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2}\) podobnie można zwinąć drugie rozwiązanie.

Skąd się to wzięło? Możesz to jakoś rozpisać?

\(\displaystyle{ \sin x \sin y=\frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y) )}\) można to łatwo udowodnić, wyprowadzić.

[Jan Kraszewski]

Zauważ, że \(\displaystyle{ 3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2}\) podobnie można zwinąć drugie rozwiązanie.

Mam niejasne podejrzenie, że niewiele osób by to zauważyło...

JK

[anna_]

No tak, zdaje się, że błąd był linijkę wyżej.