Rozwiąż równanie trygonometryczne

[squared]

Mam równianie do rozwiązania, ale niestety mam zły wynik, proszę o sprawdzenie obliczeń

\(\displaystyle{ \sin x -\cos x = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin x - \sqrt{1 - \sin^{2} x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin x - 1 = \sqrt{1 - sin^{2} x}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} x - 2 \sin x + 1 = |1 - \sin^{2}x|}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} x - 2 \sin x + 1 - |1 - \sin^{2} x| = 0}\)
\(\displaystyle{ 1^{o}}\)
\(\displaystyle{ 1 - \sin^{2}x < 0}\)
\(\displaystyle{ - \sin^{2}x<-1}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2}x>1}\)
\(\displaystyle{ |\sin x|>1 \leftarrow}\) sprzeczność
\(\displaystyle{ 2^{o}}\)
\(\displaystyle{ 1 - \sin^{2}x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ - \sin^2 x \ge -1}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} \le 1}\)
\(\displaystyle{ |\sin x| \le 1 \leftarrow}\) zawsze prawdziwe
\(\displaystyle{ x \in R}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} x - 2 \sinx + 1 - 1 + \sin^{2}x = 0}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin^{2}x - 2 \sin x = 0}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin x (\sin x - 1) = 0}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x=k\pi, k \in C}\)
\(\displaystyle{ \vee}\)
\(\displaystyle{ \sin x-1=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x = 1}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in C}\)

Powinno jednak wyjść \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in C}\)(czyli tak jak mam) \(\displaystyle{ \vee x=\pi + 2k\pi, k \in C}\) (czyli tak jak nie mam)

[chris_]

EDIT

jednak źle

[squared]

To czemu w odpowiedziach jest inne rozwiązanie

[piti-n]

Ale to w sumie dobrze bo \(\displaystyle{ sin( \pi ) =sin0=sin2 \pi}\)
To jest funkcja okresowa. W odpowiedziach mogli równie dobrze napisać \(\displaystyle{ 6 \pi +2k \pi}\)

[chris_]

akurat \(\displaystyle{ x=0}\), ani żadne \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) nie spełnia tego równania

////////////////////////////////////////////////////////////////////
za to rozwiązując z drugiej strony wynik wychodzi poprawny
\(\displaystyle{ \cos x + 1 = \sin x \\
\ldots\\
\cos x = 0 \vee \cos x = -1\\
\left( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \vee x=\pi + 2k\pi\right), k \in \mathbb{Z}}\)

[squared]

Rozwiązałem to w drugą stronę i znowu się nie zgadza, bo wynik jest taki:
\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \vee x=\pi + 2k\pi\right}\)
Czyli to samo, co przy podstawieniu sinusa. Źle obliczyłeś \(\displaystyle{ \cos x = 0}\).

[marcinz]

Ta równość \(\displaystyle{ cos x=\sqrt{1 - \sin^{2} x}}\)
nie jest zawsze prawdziwa (równie dobrze może być \(\displaystyle{ cos x=-\sqrt{1 - \sin^{2} x}}\)).

[squared]

A spójrz sobie na sam początek rozwiązania mojego, rozważyłem dwa przypadki przecież.

[marcinz]

\(\displaystyle{ \sin x - \sqrt{1 - \sin^{2} x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin x - \sqrt{1 - \sin^{2} x} = 1}\)
W tych dwóch linijkach masz błąd, o którym mówiłem. Przypadki, które rozważałeś były później i dotyczyły czegoś innego.

[marcinz]

\(\displaystyle{ \sin x -\cos x = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin x - \sqrt{1 - \sin^{2} x} = 1}\)

W tych dwóch linijkach masz błąd, o którym mówiłem. Przypadki, które rozważałeś były później i dotyczyły czegoś innego.

[marcinek92]

Zaciekawił mnie trochę ten problem i mam pytanie czy jakby cosx przenieść na prawą stronę i wtedy podnieść do kwadratu do byłoby OK ? bo rozumiem że chodzi o to , że cosx jest ujemny w drugiej ćwiartce?

[piasek101]

Przy odpowiednim założeniu można wyjściowe podnieść do kwadratu.

[squared]

To może w taki razie ktoś pokaże z Was całkiem inną metodę na rozwiążanie tego równania

[piasek101]

Załóż, że lewa jest nieujemna (wyznacz dla jakich x-sów) i podnieś stronami do kwadratu.

Albo dołóż jedynkę trygonometryczną jako drugie równanie.

[marcinek92]

Dobrze by było Wydaje mi się , że sęk tkwi w tym ze coś np. ujemnego podnosimy do kwadratu - a to przecież mogło być dodatnie albo ujemne dlatego się zapomina o tym jednym rozwiązaniu. Mi wychodzi , ze \(\displaystyle{ x=\frac{ \pi}{ 2} + \frac {k \pi }{2}}\)