sprawdź tożsamość

AsiaPipitrasia · Post autor: **AsiaPipitrasia** » 23 kwie 2011, o 17:04

Sprawdź tożsamość:

\(\displaystyle{ \frac{1+\sin2 \alpha }{\cos2 \alpha } = \frac{1+\tg \alpha }{1\-tg \alpha }}\)

dla \(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{\pi}{4} + k\pi}\)

Jaka powinna być odp.? Może mi to ktoś rozwiązać?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 23 kwie 2011, o 17:25

Trochę to rozpiszemy, skorzystamy z "mocniejszych" wzorów.

\(\displaystyle{ \frac{1+\sin2 \alpha }{\cos2 \alpha } = \frac{1+2\sin\alpha \cos \alpha }{\cos ^2\alpha -\sin^2\alpha }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+\tg \alpha }{1-\tg \alpha }= \frac{1+ \frac{\sin\alpha }{\cos \alpha } }{1-\frac{\sin\alpha }{\cos \alpha }}= ... = \frac{\cos\alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin\alpha }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+2\sin\alpha \cos \alpha }{\cos ^2\alpha -\sin^2\alpha }=\frac{\cos\alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin\alpha }}\)

Żeby było nam łatwiej, przyjmujemy, że:
\(\displaystyle{ a=\sin \alpha \\ b=\cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+2ab}{b^2-a^2}= \frac{b+a}{b-a}}\)

Na krzyż oraz \(\displaystyle{ (b^2-a^2)=(b-a)(b+a)}\)

\(\displaystyle{ (b+a)^2(b-a)=(b-a)(1+2ab)}\)

\(\displaystyle{ b^2+2ab+a^2=1+2ab}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\)

Wracamy z oznaczeniami.

\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1}\)

Wyszła nam jedynka trygonometryczna, czyli tożsamość jest prawdziwa.

rafaluk · Post autor: **rafaluk** » 23 kwie 2011, o 18:14

Sprawdzając tożsamość nie można 'używać' dwóch stron, tylko przekształcając jedną z nich, dojść do drugiej.

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 23 kwie 2011, o 18:18

Wg. Ciebie jeśli przekształcając równoważnie to równanie dojdziemy do czegoś takiego jak \(\displaystyle{ 0=0}\) to w żadnym wypadku nie wykażemy jego poprawności.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 23 kwie 2011, o 18:21

Ups, przepraszam.

AsiaPipitrasia · Post autor: **AsiaPipitrasia** » 23 kwie 2011, o 18:30

Ma ktoś jeszcze jakieś pomysły?

rafaluk · Post autor: **rafaluk** » 23 kwie 2011, o 18:36

Nie chce mi się ciągle pisać w teksie alpha, więc oznaczę \(\displaystyle{ \alpha=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+2\sin x \cos x}{\cos ^2 x - \sin ^2 x}=\frac{ \sin ^2 x+2\sin x \cos x+\cos ^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}= \\ \\ =\frac{(\sin x+\cos x)^2}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}= \frac{\sin x+\cos x}{\cos x - \sin x}= \\ \\ = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{1+\tg x}{1-\tg x}}\)

Uf.

AsiaPipitrasia · Post autor: **AsiaPipitrasia** » 23 kwie 2011, o 18:43

kurcze... no faktycznie u dołu można również zastosować wzór... ja w momencie pojawienia się \(\displaystyle{ \frac{(\sin x+\cos x)^2}{\cos ^2 x - \sin ^2 x}}\) utknęłam ;P i stwierdziłam, że może źle robię ;P

heh dzięki wielkie ;P

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 23 kwie 2011, o 22:02

rafaluk pisze:Sprawdzając tożsamość nie można 'używać' dwóch stron, tylko przekształcając jedną z nich, dojść do drugiej.

Można, sposobów jest dużo.

rafaluk · Post autor: **rafaluk** » 24 kwie 2011, o 17:10

piasek101 pisze:
rafaluk pisze:Sprawdzając tożsamość nie można 'używać' dwóch stron, tylko przekształcając jedną z nich, dojść do drugiej.
Można, sposobów jest dużo.

Mnie uczono, że na maturze nie wolno.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 24 kwie 2011, o 20:53

Piszesz, że robisz przekształcenia równoważne (takie też robisz) i po sprawie.