Kilka zadań.

[knife]

Witam serdecznie,

Z powodu choroby nie było mnie na lekcjach i nie wiem o co chodzi, bardzo proszę o pomoc i wyrozumiałość.

1) Mając dane \(\displaystyle{ \sin \alpha=- \frac{4}{5} \in \left( \pi , \frac{3}{2} \pi \right)}\) oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).
2)Drzewo o wysokości 4m rzuca cień o długości 6m. Pod jakim kątem promienie słoneczne padają wówczas na ziemię ?
3) Czy istnieje kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), taki ,ze \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{2}{5}}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{5}}\)
4) Rowziąż podane równania :
a) \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cos x=1}\),
b) \(\displaystyle{ |\sin x|=1}\)
5) Podaj okres podanych funkcji :
a) \(\displaystyle{ y=\sin (5x)}\)
6) \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }}\)

[kibic2503]

1) oblicz cos z "jedynki" a potem podstawiaj dane wartości to tg i ctg
2) podstawić do tg lub ctg, jak kto woli
3) wystarczy podstawić do jedynki trygonometrycznej

[knife]

Mógłby pan rozwiązać jeden przykład z 'jedynką' ?

[kibic2503]

1)\(\displaystyle{ \sin ^{2}a+\cos ^{2}a=1}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2}a=1-\sin ^{2}a}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2}a=1-(- \frac{4}{5}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2}a=1- \frac{16}{25}}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2}a= \frac{9}{25}}\)
\(\displaystyle{ \cos a= \frac{3}{4}}\)

[knife]

Ok, dziękuje za pomoc.

6) \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{2}{1}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ tg \alpha +\left( \frac{2}{1} \right)^{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ tg \alpha = \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{0,5+0,5\sqrt 3}{0,5-0,5\sqrt 3}}\)

Tak ?

[piasek101]

Ok, dziękuje za pomoc.

6) \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{2}{1}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ tg \alpha +\left( \frac{2}{1} \right)^{2} = 1}\)

Tak ?

Skąd ta druga linijka ?

[knife]

Z Pitagorasa.

[piasek101]

No to ,,dziwny" Pitagoras z tangensem.

Patrz :

\(\displaystyle{ 1^2+2^2=x^2}\) (x - to szukany bok).

[knife]

Ehh ..
Może ja skończę edukację na dzisiaj, zmęczenie robi swoje.

Czyli \(\displaystyle{ x= \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{2}}\)

[piasek101]

Ehh ..
Może ja skończę edukację na dzisiaj, zmęczenie robi swoje.

Czyli \(\displaystyle{ x= \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{2}}\)

Dobry pomysł.

Bo (x) był najdłuższym bokiem - zatem powinien być ,,na dole" sinusa i kosinusa.

[knife]

Fakt, dziękuje za pomoc.

[bercik001]

1)
\(\displaystyle{ \alpha \in \left( \pi ; \frac{3}{2} \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in \left( 180;270\right)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in III ćwiartce.}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = -\frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \left( - \frac{4}{5} \right) ^{2} +\cos ^{2} \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \frac{16}{25} +\cos ^{2} \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ 1- \frac{16}{25} =\cos ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha = \frac{9}{25}}\)
i teraz sam cos mogą dać dwie liczby
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \sqrt{ \frac{9}{25} } lub \cos \alpha = - \sqrt{ \frac{9}{25} }}\)
dlatego że \(\displaystyle{ \alpha \in III cwiartki}\) to szukamy w tablicach 'Znaki fun. tryg. 'jaki znak ma cos w III ćw( \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \pi ; \frac{3}{2} \pi \right)}\) ) - jest to znak ' - ' dlatego
\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \sqrt{ \frac{9}{25} } =}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{- \frac{4}{5} }{ -\frac{3}{5} }}\) mianowniki sie skrócą
\(\displaystyle{ \tg \alpha = - \frac{4}{3}}\) jednak patrzymy znowu w tablice 'w znaki' i patrzymy na tg i ctg - dla obu jest to znak ' + ' , dlatego :
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{4}{3}}\)
ctg odwrotnością tg więc :
\(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{3}{4}}\)


2)
\(\displaystyle{ \alpha}\) to \(\displaystyle{ \sphericalangle}\) między cieniem a promieniami słońca
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{4}{6}}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{2}{3} \approx 0,666666 \rightarrow 33 stopnie}\)


3)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{a}{c}}\) (a = przypros. naprzeciw alfy ; b= przyp. przy alfie ;c przeciw.)
\(\displaystyle{ a=2 ; c=5}\)
\(\displaystyle{ 2^{2} +b ^{2} = 5^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4+b ^{2} =25}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} = 25-4}\)
\(\displaystyle{ b^{2} =21}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{21} \approx 4,58}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ b _{1} =3;c=5}\)
\(\displaystyle{ b _{1} ... b}\)
\(\displaystyle{ 3 \neq 4,58}\)
nie może być

[Crizz]

bercik001, w 3. nie możesz zakładać, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym.

knife, zdecydowanie polecam skorzystanie z rady kibic2503.

\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{- \frac{4}{5} }{ -\frac{3}{5} }}\) mianowniki sie skrócą
\(\displaystyle{ \tg \alpha = - \frac{4}{3}}\) jednak patrzymy znowu w tablice 'w znaki' i patrzymy na tg i ctg - dla obu jest to znak ' + ' , dlatego :
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{4}{3}}\)

Minus z minusem daje plus. Jak już znasz znak sinusa i cosinusa, to oznacza, że znasz znak tangensa - nie ma tutaj co ustalać.