Rozwiąż równanie. Problem z wynikiem.

[ThorvalD]

Witam. Mam mały problem w moim rozumowaniu. Rozwiązuję zadanie typu np.
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha - cos ^{2} \alpha = \frac{1}{2}}\)
No i jest problem. W zależności od sposobu którym robię wychodzą różne wyniki.
1) sposób, korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ cos2 \alpha}\) i dochodzę do \(\displaystyle{ cos2 \alpha = - \frac{1}{2}}\)

2) sposób, korzystam z jedynki tryg. i mam \(\displaystyle{ sin \alpha = \pm \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Wyniki wychodzą dobre ale różnią się okresem, jeden ma \(\displaystyle{ 2k \pi}\) a drugi \(\displaystyle{ k \pi}\)
Gdzie robię błąd. Pomóżcie!!!

[Qń]

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha - \cos ^{2} \alpha = \frac{1}{2}}\)
2) sposób, korzystam z jedynki tryg. i mam \(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{1}{2}}\)

Pokaż w jaki sposób korzystasz z jedynki trygonometrycznej, to będzie można wskazać błąd.

Q.

[ThorvalD]

\(\displaystyle{ cos ^{2} \alpha = 1 - sin ^{2} \alpha}\) i podstawiam

[Qń]

Ale ja wiem czym jest jedynka trygonometryczna, naprawdę . Jeśli chcesz, żeby wskazano Ci błąd w rozwiązaniu, to musisz przedstawić całe rozwiązanie.

Q.

[ThorvalD]

tam wkradł mi się jeden błąd w pierwszym poście więc poprawiłem -- 19 kwi 2011, o 11:52 --\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha - cos ^{2} \alpha = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ cos ^{2} \alpha = 1 - sin ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha - 1 + sin ^{2} \alpha = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha = \frac{3}{4}}\)

[Qń]

Teraz jest dobrze. W takim przedstaw wyniki w jednym i drugim sposobie, a potem przez analogię z przykładem:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi \ : \ k\in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \ : \ k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \ : \ k\in \mathbb{Z}\right\}}\)
zastanów się dlaczego te wyniki się nie różnią.

Q.

[ThorvalD]

dzięki za odpowiedź. powiem szczerze że nie wiem jakim cudem tego nie zauważyłem. najwidoczniej kilkugodzinne siedzenie przed książkami źle działa na mózg.

PS. tam u ciebie chyba powinno być \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)

[Qń]

Nie, u mnie powinno być tak jak napisałem. A w rozwiązaniu zadania rzecz jasna inaczej.

Q.