Równanie kwadratowe z parametr. dowód tożsamości trygonometr

[Mati539]

Liczby \(\displaystyle{ x _{1} \ne x _{2}}\) są dwoma dodatnimi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ 3x ^{2} - \pi x+m=0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.

Wykaż, że \(\displaystyle{ 2\cdot\tg x _{1}\cdot\tg x _{2} + \frac{1}{\cos x _{1}\cdot\cos x _{2} }=2}\)

Proszę o pomoc

[lukasz1804]

Wyznacz warunki, przy których równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie (wykaż, że \(\displaystyle{ 0<m<\frac{\pi^2}{12}}\)).
Zauważ, że w szczególności jest \(\displaystyle{ 0<m<\frac{\pi}{2}}\) i wobec tego \(\displaystyle{ \cos x_1\ne 0, \cos x_2\ne 0}\).
Mamy \(\displaystyle{ 2\cdot\tg x_1\cdot\tg x_2+\frac{1}{\cos x_1\cdot\cos x_2}=\frac{2\cdot\sin x_1\cdot\sin x_2+1}{\cos x_1\cdot\cos x_2}=\frac{2\cdot\sin x_1\cdot\sin x_2-2\cdot\cos x_1\cdot\cos x_2+1}{\cos x_1\cdot\cos x_2}+2=\frac{1-2(\cos x_1\cdot\cos x_2-\sin x_1\cdot\sin x_2)}{\cos x_1\cdot\cos x_2}+2=\frac{1-2\cos(x_1+x_2)}{\cos x_1\cdot\cos x_2}+2}\).
Wystarczy teraz jeszcze dowieść, że \(\displaystyle{ 1-2\cos(x_1+x_2)=0}\), korzystając ze wzoru Viete'a i wartości kosinusa odpowiedniego kąta.