Okresowość funkcji

[garf99]

Zbadać okresowość funkcji :
1. \(\displaystyle{ f(x) = 2 sin (3x + 5), x R}\)
2. \(\displaystyle{ f(x) = 4 sin 3x + 3sin 4x, x R}\)
3. \(\displaystyle{ f(x) = sin^2 x}\)
4. \(\displaystyle{ f(x) = sin x^2}\)
5. \(\displaystyle{ f(x) = ft\{\begin{array}{l}1 dla x W\\0 dla x\in R-W\end{array}}\)

[Lady Tilly]

3)
w punkcie x=0 osiąga wartość y=0 \(\displaystyle{ x\/in}(0;\frac{\pi}{2})}\) funkcja rośnie, w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) osiąga wartość \(\displaystyle{ y=1}\) a dalej \(\displaystyle{ x{\in}(\frac{\pi}{2};\pi)}\) funkcja maleje osiągając dla \(\displaystyle{ x=\pi}\) wartość \(\displaystyle{ y=0}\) historia się powtarza....

[wb]

1. f(x)=2sin(3x+5)

Funkcja jest okresowa; okresem jest \(\displaystyle{ T=\frac{2\pi}{3}}\)
Uzasadnienie:
\(\displaystyle{ f(x+T)=f(x+\frac{2\pi}{3})=2sin(3(x+\frac{2\pi}{3})+5)=2sin(3x+2\pi+5)= \\ =2sin(3x+5)=f(x)}\)

[ Dodano: 1 Styczeń 2007, 13:16 ]
2.\(\displaystyle{ T=2\pi \\ f(x+2\pi)=4sin(3(x+2\pi))+3sin(4(x+2\pi))= \\ =4sin(3x+6\pi)+3sin(4x+8\pi)=4sin3x+3sin4x=f(x)}\)

[ Dodano: 1 Styczeń 2007, 13:19 ]
3.
\(\displaystyle{ T=2\pi \\ f(x+2\pi)=sin^2(x+2\pi)=sin^2x=f(x)}\)

[ Dodano: 1 Styczeń 2007, 13:25 ]
4, 5 - Funkcje nie są okresowe.

[garf99]

odnosnie 3. Czy T nie powinno byc rowne \(\displaystyle{ \pi}\)? Bo \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest okresem funkcji sinus, a tutaj chodzi o \(\displaystyle{ sin^2 x}\)

[wb]

\(\displaystyle{ 2\pi}\) jest też okresem, ale nie zasadniczym.

Masz rację \(\displaystyle{ \pi}\) jest okresem zasadniczym w 3.

[garf99]

A jeszcze, jak bys mogl mi napisac jak dojsc do tego ze to \(\displaystyle{ \pi}\) a nie \(\displaystyle{ 2 \pi}\).... Bo doszedlem do tego sam logicznie-wykresowo, ale udowodnic to ja nie potrafie

[wb]

Ze wzoru redukcyjnego:
\(\displaystyle{ sin(x+\pi)=-sinx \\ f(x+\pi)=sin^2(x+\pi)=(-sinx)^2=sin^2x=f(x)}\)