Związki między funkcjami

[bleze]

Z czego wynika ten związek?

\(\displaystyle{ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}\)

[Lorek]

http://pl.wikipedia.org/wiki/Jedynka_trygonometryczna

[luka52]

\(\displaystyle{ \sin{\alpha} = \frac{a}{c}\\
\cos{\alpha} = \frac{b}{c}\\

\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}}\)
Z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2}\), czyli:
\(\displaystyle{ \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = \frac{c^2}{c^2} = 1}\)

[Lady Tilly]

Jak wiadomo z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\) dzieląc obie strony tej równości przez \(\displaystyle{ c^{2}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=1}\)
a przecież:
\(\displaystyle{ \frac{a}{c}=sin\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{c}=cos\alpha}\)

[bleze]

a taki związek?

\(\displaystyle{ tg\alpha × ctg\alpha = 1}\)

[Lorek]

A tangens to jest co? \(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos }}\)
tak samo \(\displaystyle{ ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}\)
więc
\(\displaystyle{ tg\alpha ctg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos }\cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1}\)

[bleze]

no tak, a jeśli te związki mam wykorzystywać potem w zadaniach to trzeba mniej więcej znać je na pamięć czy jak?

[Lorek]

Wystarczy, że znasz "jedynkę" i sposób zapisania tangensa za pomocą sinusa/cosinusa, a resztę już można wyprowadzić, ale w przyszłości czekają Cię jeszcze wzory na sumę/różnicę i inne ciekawe

[bleze]

o co tak dokładnie chodzi z tą "jedynką"

[Lorek]

Jedynka trygonometryczna to nazwa pierwszej z tożsamości, czyli
\(\displaystyle{ \sin^2 +\cos^2\alpha=1}\)