sprytny myk

[franek89]

\(\displaystyle{ \sin a+\sin b=\frac{\sqrt{5}}{2}}\)
Ile wynosi \(\displaystyle{ \cos a \cdot \cos b=...}\) ?
Jak to sprytnie zrobić?
mój plan zawodzi,,,
\(\displaystyle{ sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2} \cdot cos(\frac{a-b}{2})}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}a+2sinasinb+sin^{2}b=4sin^{2}(\frac{a+b}{2})\cdot cos^{2}(\frac{a-b}{2})}\)

jak to sprytnie wyliczyć?

[JakimPL]

Z pobieżnych rachunków wynika mi, iż tenże iloczyn może być różny dla różnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniających warunki. Jaka jest pełna treść tego zadania? Jeśli to jest cała treść, to zadanie zaiste ciekawe.

[franek89]

Dokładnie to cała treść. Robiłem w ten sposób, że narzuciłem sobie sina= ... (oczywiście w przedziale [-1;1] i wyznaczyłem z warunku zadania sinb, a potem z jedynki cosa oraz cosb tak dedukowałem... ale myślę, że jest tutaj jakiś sprytny myk, bo to zadanie maturalne =]

[ares41]

czy aby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to nie sa kąty w trójkącie prostokątnym, bo takie zadanie widziałem w którymś z próbnych arkuszy?

[franek89]

Oczywiście- a i b to kąty w trójkącie prostokatnym Czy ktoś ma ciekawy pomysł?

[fon_nojman]

W takim razie \(\displaystyle{ \sin a+\sin b+1=2\sqrt2\cos \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2}.}\)

[JakimPL]

Jeżeli tak, to sprawa prosta:

\(\displaystyle{ \sin a +\sin b = \frac{\sqrt{5}}{2}\\ \sin^2 a + 2 \sin a \sin b + \sin^2 b = \frac{5}{4}}\)

Skoro jest to trójkąt prostokątny, to \(\displaystyle{ a=90^\circ - b}\), a więc można przejść na kofunkcję (\(\displaystyle{ \sin b = \cos (90^\circ-b) = \cos a}\)):

\(\displaystyle{ \sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \sin b = \frac{5}{4}}\)

Dwa pierwsze elementy to jedynka trygonometryczna. Przerzucić i pozamieniać na kofunkcje sinusy.