Rozwiąż równanie trygonometryczne

[squared]

\(\displaystyle{ 1 - \sin 2x = 2 sin^{2}x - \tg x}\)

Jakieś wskazówki jak się za to zbrać?

[thenighthawk4]

Skorzystaj ze wzoru na podwójny kąt dla sinusa, rozwiń tangensa. Kiedy pozbędziesz się np. cosinusa, podstaw za pozostałą funkcję zmienną pomocniczą i dostaniesz równanie kwadratowe.

[squared]

To akurat wiedziałem i taka wiedza mi nie pomogła. Generalnie w dalszych obliczeniach mam problemy (przekształceniach). Ostatecznie obliczyłem coś, jednak okazuje się, że jest to błędne rozwiążanie . Oto moje obliczenia:

\(\displaystyle{ 1-2\sin x = 2 \sin^{2}x - \tg x}\)
Podstawiam wzór na podwojony sinus i na tangensa, następnie obie strony mnożę przez \(\displaystyle{ \cox x}\)
\(\displaystyle{ \cos x - 2 \sin x \cos^{2}x = 2 \sin^{2}x \cos x - \sin x}\)
\(\displaystyle{ - 2 \sin x \cos^{2}x - 2 \sin^{2}x \cos x + \sin x + \cos x= 0}\)
\(\displaystyle{ - 2 \sin x \cos x (\cps x + \sin x) + \cos x + \sin x = 0}\)
\(\displaystyle{ (\cos x + \sin x) (1 - 2 \sin x \cos x)=0}\)

Pierwszy przypadek
\(\displaystyle{ \cos x + \sin x = 0}\)
Korzystam najpierw ze wzorów redukcyjnych, potem z wzoru na sumę sinusów i otrzymuję
\(\displaystyle{ 2 sin \frac{\pi}{4}cos (x + \frac{\pi}{4})=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ \cos (x + \frac{\pi}{4})=0}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow x=2k\pi, k \in C \vee x+ \frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in C}\)

Drugi przypadek
\(\displaystyle{ 1 - \sin2x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x = 1}\)
\(\displaystyle{ 2x=\franc{\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in C \vee 2x= \pi - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in C \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in C.}\)

Niestety odpowiedź ma być: \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in C}\) oraz \(\displaystyle{ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in C}\).

Gdzie mam w takim razie jakiś błąd?

[thenighthawk4]

Drugi przypadek zrobiłeś dobrze.

W pierwszym nie zrozumiałem o co Ci chodzi, więc zrobiłem może po lamersku trochę, ale zastosowałem wzór jedynkowy.

\(\displaystyle{ \cos x + \sin x = 0 \\
\qquad \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \\
\sin x = - \sqrt{1 - \sin^2 x} \\
\sin^2 x = 1 - \sin^2 x \\
2 \sin^2 x = 1 \\
\sin^2 x = \frac{1}{2} \\
\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \vee \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\
x = \frac{\pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{5}{4} \pi + 2k \pi}\)

Suma tych rozwiązań i Twojego jest taka:
\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + k \pi \vee x = \frac{5}{4} \pi + 2k \pi}\)

W tym ostatnim nie pasuje mi trochę to \(\displaystyle{ 2k \pi}\) i nie wiem co z tym zrobić.
Być może nie powinienem był podnosić obustronnie do kwadratu w 3/4 linii mojego rozwiazania?

Przypominam, że \(\displaystyle{ \frac{5}{4} \pi + 2k \pi}\) jest równoważne \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{4} + 2k \pi}\)

[squared]

\(\displaystyle{ \sin^2 x = 1 - \sin^2 x}\)

Tu powinna być chyba wartość bezwzględna, a co za tym idzie znowu pojawiają się dwa przypadki, gdyż nie wiemy czy sinus jest dodatni czy ujemny, prawda?

Jeśli chodzi o mój pierwszy przypadek to rozwinę go, aby nie było wątpliwości:
\(\displaystyle{ \cos x + \sin x = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin x + \sin( \frac{\pi}{2} - x)=0}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{ x + (\frac{\pi}{2}-x) }{2} \cos \frac{x-( \frac{\pi}{2} - x)}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4}cos(x + \frac{\pi}{4})=0}\)
\(\displaystyle{ 2* \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos (x + \frac{\pi}{4})=0}\)\(\displaystyle{ \setminus : \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow x=2k\pi, k \in C \vee x+ \frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4} + 2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in C \\ x=-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in C\end{cases}\Rightarrow x=-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in C}\)

[thenighthawk4]

Wydaje mi się, że w 4 linii popełniłeś błąd, powinno być:
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4}cos(x - \frac{\pi}{4})=0}\)

BTW znak mnożenia to cdot.

Po podzieleniu przez pierwiastek z 2 wyglądałoby to tak:
\(\displaystyle{ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0}\)

O ile myślę w tej chwili rozsądnie, funkcja cosinus przyjmuje zero w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}}\).

Wynikałoby z tego, że
\(\displaystyle{ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k \pi \vee x - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{2} + 2k \pi \\ \\
x = \frac{3}{4} \pi + 2k \pi \vee x = \frac{7}{4} \pi + 2k \pi}\)

Martwi mnie jednak, że to rozwiązanie też nie jest poprawne. Przyznam się, że nie wiem jak Ci pomóc, ale może coś dzięki temu wykombinujesz.

[squared]

Hmmm. Może ktoś inny właczy się do dyskusji i nasz dylemat roztrzygnie

[piasek101]

Nie czytam całego.
Dziedzina - może mieć wpływ na wynik.

Tu miałeś ok :

\(\displaystyle{ cosx+sinx=0|:cosx}\) i szybciej pójdzie

lub
\(\displaystyle{ 1-2sinxcosx=0}\) czyli \(\displaystyle{ sin2x=1}\) (i raczej miałeś ok)

Na koniec narysuj swoje (rozwiązania) i ich na osi może to to samo.

[squared]

Ostatecznie po sprawdzeniu wszystkich moich obliczeń i dzięki Waszej pomocy mam następujące wyminiki
\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{5}{4} \pi + 2k \pi \vee x=- \frac{\pi}{4} + 2k \pi}\)

Przypominam, że \(\displaystyle{ \frac{5}{4} \pi + 2k \pi}\) jest równoważne \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{4} + 2k \pi}\)

Skąd taki wniosek narysowałem rysunek i nie wychodzi mi, że to jest to smao. Czyżbym zły rysunek robił?

[piasek101]

Nie czytam całego.
Dziedzina - może mieć wpływ na wynik.

Tu miałeś ok :

\(\displaystyle{ cosx+sinx=0|:cosx}\) i szybciej pójdzie

lub
\(\displaystyle{ 1-2sinxcosx=0}\) czyli \(\displaystyle{ sin2x=1}\) (i raczej miałeś ok)

Na koniec narysuj swoje (rozwiązania) i ich na osi może to to samo.

Z tego od razu mam L:
- z pierwszego \(\displaystyle{ x=-0,25\pi+k\pi}\)

- z drugiego \(\displaystyle{ x=0,25\pi+k\pi}\)

Co do cytowanego to nie zachodzi.

[squared]

Z pierwszego wychodzi jeszcze \(\displaystyle{ x = \frac{5}{4} \pi + 2k \pi}\)

[piasek101]

Z pierwszego wychodzi jeszcze \(\displaystyle{ x = \frac{5}{4} \pi + 2k \pi}\)

Mi nie wychodzi (podzielić stronami przez cosx - tak Ci podpowiadałem) :

\(\displaystyle{ tgx=-1}\)

[squared]

Już wszystko mi się zgadza. Dziękuję za pomoc