równanie trygonometryczne tg x
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 27 maja 2010, o 22:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostróda
- Podziękował: 5 razy
równanie trygonometryczne tg x
proszę o rozwiązanie poniższego równania
\(\displaystyle{ \tg x + \tg ^ 2x + \tg ^ 3x+...= \sin x + \cos x}\)
\(\displaystyle{ \tg x + \tg ^ 2x + \tg ^ 3x+...= \sin x + \cos x}\)
Ostatnio zmieniony 3 kwie 2011, o 21:06 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: zapis funkcji trygonometrycznych
Powód: zapis funkcji trygonometrycznych
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 27 maja 2010, o 22:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostróda
- Podziękował: 5 razy
równanie trygonometryczne tg x
piasek101 pisze:Lewa strona (przy odpowiednich założeniach) to suma nieskończonego ciągu ...
to wiem i tak ją zapisałem, ale co dalej??
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
równanie trygonometryczne tg x
Nie należę do takich co robią - podpowiadam - skoro
Albo czekasz - są tu też tacy co robią.
pokazujesz co masz.Pawel1906 pisze:to wiem i tak ją zapisałem, ale co dalej??
Albo czekasz - są tu też tacy co robią.
równanie trygonometryczne tg x
Lewa strona
\(\displaystyle{ \tg x + \tg ^ 2x + \tg ^ 3x + ...}\)
bedzie rowna
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x}}\)
Teraz rozwaze dwa przypadki
1. \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac{ \pi }{4}+k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right), k \in Z}\)
2. \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac{ \pi }{2}+k \pi ; -\frac{ \pi }{4}+k \pi \right) \cup\left( \frac{ \pi }{4}+k \pi ; \frac{ \pi }{2}+k \pi \right), k \in Z}\)
Dla 1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x} =\frac{\tg x}{1-\tg x}}\), bo \(\displaystyle{ -1<\tg x <1}\)
Dostajemy rownanie
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{1-\tg x} = \sin x + \cos x}\) trzeba pamietac o zalozeniu
Dla 2. Nie bedzie rozwiazan.\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x} = \infty}\)
Moza odrazu zauwazyc ze rownanie bedzie mialo rozwiazania gdy \(\displaystyle{ \left| \tg x\right|<1}\)
Nie jestem pewien poprawnosci rozwiazania najlepiej gdy ktos zweryfikuje.
\(\displaystyle{ \tg x + \tg ^ 2x + \tg ^ 3x + ...}\)
bedzie rowna
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x}}\)
Teraz rozwaze dwa przypadki
1. \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac{ \pi }{4}+k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right), k \in Z}\)
2. \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac{ \pi }{2}+k \pi ; -\frac{ \pi }{4}+k \pi \right) \cup\left( \frac{ \pi }{4}+k \pi ; \frac{ \pi }{2}+k \pi \right), k \in Z}\)
Dla 1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x} =\frac{\tg x}{1-\tg x}}\), bo \(\displaystyle{ -1<\tg x <1}\)
Dostajemy rownanie
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{1-\tg x} = \sin x + \cos x}\) trzeba pamietac o zalozeniu
Dla 2. Nie bedzie rozwiazan.\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x} = \infty}\)
Moza odrazu zauwazyc ze rownanie bedzie mialo rozwiazania gdy \(\displaystyle{ \left| \tg x\right|<1}\)
Nie jestem pewien poprawnosci rozwiazania najlepiej gdy ktos zweryfikuje.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
równanie trygonometryczne tg x
Możesz wziąć od razu ten gdzie suma nieskończonego ciągu geometrycznego będzie skończona, czyli gdy będzie to ciąg zbieżny - patrz ostatni warunek posta przed Twoim.