równanie trygonometryczne tg x

Pawel1906 · Post autor: **Pawel1906** » 3 kwie 2011, o 20:51

proszę o rozwiązanie poniższego równania

\(\displaystyle{ \tg x + \tg ^ 2x + \tg ^ 3x+...= \sin x + \cos x}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 3 kwie 2011, o 21:06

Lewa strona (przy odpowiednich założeniach) to suma nieskończonego ciągu ...

Pawel1906 · Post autor: **Pawel1906** » 3 kwie 2011, o 21:08

piasek101 pisze:Lewa strona (przy odpowiednich założeniach) to suma nieskończonego ciągu ...

to wiem i tak ją zapisałem, ale co dalej??

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 3 kwie 2011, o 21:14

Pokazujesz co masz.

Trzeba to rozwiązać.

Pawel1906 · Post autor: **Pawel1906** » 3 kwie 2011, o 21:36

więc pokaż jak rozwiązać

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 3 kwie 2011, o 21:41

Nie należę do takich co robią - podpowiadam - skoro

Pawel1906 pisze:to wiem i tak ją zapisałem, ale co dalej??

pokazujesz co masz.

Albo czekasz - są tu też tacy co robią.

ostryo · Post autor: **ostryo** » 4 kwie 2011, o 15:43

Lewa strona
\(\displaystyle{ \tg x + \tg ^ 2x + \tg ^ 3x + ...}\)
bedzie rowna
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x}}\)

Teraz rozwaze dwa przypadki
1. \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac{ \pi }{4}+k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right), k \in Z}\)
2. \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac{ \pi }{2}+k \pi ; -\frac{ \pi }{4}+k \pi \right) \cup\left( \frac{ \pi }{4}+k \pi ; \frac{ \pi }{2}+k \pi \right), k \in Z}\)

Dla 1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x} =\frac{\tg x}{1-\tg x}}\), bo \(\displaystyle{ -1<\tg x <1}\)
Dostajemy rownanie
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{1-\tg x} = \sin x + \cos x}\) trzeba pamietac o zalozeniu

Dla 2. Nie bedzie rozwiazan.\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\tg x \frac{1-\tg ^ nx}{1-\tg x} = \infty}\)
Moza odrazu zauwazyc ze rownanie bedzie mialo rozwiazania gdy \(\displaystyle{ \left| \tg x\right|<1}\)

Nie jestem pewien poprawnosci rozwiazania najlepiej gdy ktos zweryfikuje.

Pawel1906 · Post autor: **Pawel1906** » 4 kwie 2011, o 20:11

ale dlaczego akurat takie 2 przypadki?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 kwie 2011, o 21:18

Możesz wziąć od razu ten gdzie suma nieskończonego ciągu geometrycznego będzie skończona, czyli gdy będzie to ciąg zbieżny - patrz ostatni warunek posta przed Twoim.