Wykres funkcji- jedna nierówność

pracowity · Post autor: **pracowity** » 3 kwie 2011, o 18:56

Jak narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ cos ^{2} x> \frac{1}{2}}\) ?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 kwie 2011, o 18:59

Zauważ, że \(\displaystyle{ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1}\), więc nierówność przybiera równoważną postać \(\displaystyle{ \cos 2x>0}\).

pracowity · Post autor: **pracowity** » 3 kwie 2011, o 19:09

dzięki , a tak wgl. to chyba nie dałoby się narysować, bez przekształcenia?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 kwie 2011, o 19:12

Rozumiem Twoje obawy, ale to rozumowanie jest prawdziwe (zależność między \(\displaystyle{ \cos 2x}\) a \(\displaystyle{ \cos^2x}\) jest liniowa).

pracowity · Post autor: **pracowity** » 3 kwie 2011, o 19:16

lukasz1804 pisze:Rozumiem Twoje obawy, ale to rozumowanie jest prawdziwe (zależność między \(\displaystyle{ \cos 2x}\) a \(\displaystyle{ \cos^2x}\) jest liniowa).

Tak (już rozumiem), już wcześniej edytowałem swój post zanim odpisałeś

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 kwie 2011, o 19:34

Nierówność \(\displaystyle{ \cos^2x>\frac{1}{2}}\) możesz także rozwiązać algebraicznie: \(\displaystyle{ \cos^2x>\frac{1}{2}\iff\cos^2x-\frac{1}{2}>0\iff(\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2})(\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2})>0\iff (\cos x<-\frac{\sqrt{2}}{2}\vee\cos x>\frac{\sqrt{2}}{2})}\).
Nietrudno się przekonać, że ten sposób jest bardziej pracochłonny.

Poprzednie rozumowanie nadaje się natomiast zarówno do rozwiązania algebraicznego, jak i graficznego.