Równanie trygonometryczne z sin/tg/cos

[opti]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ 4 sin 2x + 9 tg x = 10 cos x}\)

[pyzol]

Korzystasz ze wzoru na sinus kąta podwojonego, mnożysz przez \(\displaystyle{ \cos x}\).
Z jedynki trygonometrycznej pozbywasz się cosinusa.
Robisz podstawienie:
\(\displaystyle{ t=\sin x}\)
I coś powinno wyjść.
ps. nie zapomnij o dziedzinie i założeniach na t.

[opti]

Wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ 4 sin 2x + 9tg x = 10 cosx}\)

\(\displaystyle{ 8sin x cos x + 9 \frac{sin x}{cos x} = 10cos x}\)

\(\displaystyle{ 8sin xcos^2 x + 9sin x = 10cos x sin x}\)

\(\displaystyle{ 8 sin x (1 - sin^2x) + 9 sin x = 10cos x sin x}\)

\(\displaystyle{ 8 sin x - 8 sin^2 x + 9 sin x = 10 cos x sin x}\)

\(\displaystyle{ 17 sin x - 8 sin^2x = 10 cos x sin x}\)

Ale co dalej?

[pyzol]

\(\displaystyle{ 8sin xcos^2 x + 9sin x = 10cos x sin x}\)

tutaj popełniasz śmieszny błąd, powinno być:
\(\displaystyle{ 8\sin x \cos^2 x + 9\sin x = 10\cos^2 x}\)
teraz się pozbędziesz cosinusów.
Podstaw tak jak napisałem. Jednym z rozwiązań będzie chyba \(\displaystyle{ t=1/2}\)
Żebyś się nie męczył z szukaniem pierwiastków.

[opti]

No tak, tylko w takim wypadku po usunięciu sinusa mam:

\(\displaystyle{ 8 cos^2 x + 9 = 10 \frac{cos^2x}{sin x}}\)

I nadal nie bardzo wiem co z tym zrobić...

[pyzol]

Cosinusa mała literówka
\(\displaystyle{ 8\sin x \cos^2 x + 9\sin x = 10\cos^2 x \\
8\sin x(1-\sin^2 x)+9\sin x =10(1-\sin^2 x)\\
8t(1-t^2)+9t=10(1-t^2)}\)
Jasne?

[opti]

Teraz tak. Wymnażam to wszystko i szukam pierwiastków, które wychodzą: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}, -2 \frac{1}{4} , 4}\)

Dwa ostatnie nie mogą być, bo sinus nie osiąga takich wartości.

Skąd wiedziałeś, że pierwiastkiem będzie akurat \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

Aha - dzięki za pomoc