Sprawdź czy jest tożsamością

[Agatson]

Proszę o pomoc

\(\displaystyle{ 1-cos \alpha = \frac{tg \alpha - sin \alpha }{tg \alpha }}\)

[xiikzodz]

W ogólności nie jest, bo lewa strona jest określona na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), a prawa jedynie na \(\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus\{k\pi:k\in\mathbb{Z}\}}\). Wyrażenie jest tożsamością na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus\{k\pi:k\in\mathbb{Z}\}}\), bo dla \(\displaystyle{ x}\) z tego zbioru mamy:

\(\displaystyle{ 1-\cos x=\frac{1}{\tg x}\cdot\tg x\cdot(1-\cos x)=\frac{1}{\tg x}\cdot(\tg x-\tg x\cdot \cos x)=\\=
\frac{1}{\tg x}\cdot\left(\tg x-\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x\right)=\frac{1}{\tg x}\cdot\left(\tg x-\sin x\right)=\frac{\tg x-\sin x}{\tg x}.}\)

[Lbubsazob]

Zał. \(\displaystyle{ \tg\alpha \neq 0}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha }{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} }=1- \frac{\sin\alpha}{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} }=1-\cos\alpha=L}\)