Oblicz wyrażenie z funkcjami. Udowodnij, że są tożsamościami

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
marek252
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 662
Rejestracja: 9 wrz 2010, o 21:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 154 razy

Oblicz wyrażenie z funkcjami. Udowodnij, że są tożsamościami

Post autor: marek252 »

Witam.
1. Oblicz:
a) \(\displaystyle{ \frac{2-cos 1\frac{2}{3} \pi }{tg(-1 \frac{1}{4} \pi )}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{tg(-405) \cdot cos225}{-sin(-225) \cdot ctg660}}\)

2. Udowodnij, że podane wyrażenie jest tożsamością.
a)\(\displaystyle{ \frac{1+tg(x+ \frac{ \pi }{4} )}{1-tg(x+ \frac{ \pi }{4} )}=tgx}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{sin2 \alpha }{1+cos2 \alpha } \cdot \frac{cos \alpha }{1+cos \alpha }=tg \frac{ \alpha }{2}}\)

3. Stosując wzory trygonometryczne oblicz wartości funkcji trygonometrycznych 75.

Rozwiązałem niektóre przykłady, ale nie wiem czy poprawnie. Proszę o rozwiązanie wszystkich przykładów, najlepiej krok po kroku.
Oto moje wyniki:
1.
a)\(\displaystyle{ -\frac{3}{2}}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
2.
a) nie zrobiłem
b) zrobiłem, zgadza mi się, ale mimo to proszę o rozwiązanie krok po kroku, nie wiem czy dobrze to zrobiłem
3.
Tutaj zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ sin75=sin(90-15)=cos15}\)
i tak dla każdej funkcji trygonometrycznej, ale nauczycielka powiedziała, że trzeba podać przybliżoną wartość, bez korzystania z tablic trygonometrycznych. Czyli chyba jednak źle to zrobiłem.

Trochę się rozpisałem. Z góry dzięki za pomoc.
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 28 mar 2011, o 20:32 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to '\cdot'.
wawek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 795
Rejestracja: 2 cze 2010, o 08:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 66 razy

Oblicz wyrażenie z funkcjami. Udowodnij, że są tożsamościami

Post autor: wawek91 »

Wskazówka:
\(\displaystyle{ sin75 = sin(45 + 30)}\)
marek252
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 662
Rejestracja: 9 wrz 2010, o 21:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 154 razy

Oblicz wyrażenie z funkcjami. Udowodnij, że są tożsamościami

Post autor: marek252 »

wawek91 pisze:Wskazówka:
\(\displaystyle{ sin75 = sin(45 + 30)}\)
Czyli coś takiego?
\(\displaystyle{ sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=0.966}\)
Wynik zgadza się z tablicą.
Ale czy ten wzór możemy tutaj zastosować? Czy tylko wtedy gdy pierwszy kąt w nawiasie to 90, 180, 270, 360? Czyli np. sin(90+x), sin(180+x) itd.

edit:
A tym moim sposobem jakoś dałoby się to rozwiązać? Jeśli tak, to proszę o rozwiązanie.
edit2:
@down
Dzięki A jak reszta rozwiązań?
Ostatnio zmieniony 27 mar 2011, o 16:34 przez marek252, łącznie zmieniany 1 raz.
wawek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 795
Rejestracja: 2 cze 2010, o 08:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 66 razy

Oblicz wyrażenie z funkcjami. Udowodnij, że są tożsamościami

Post autor: wawek91 »

Rozwiązanie ok. I nie rozumiem czemu nie moglibyśmy tutaj stosować tego wzoru. Jak najbardziej można bo \(\displaystyle{ \alpha \ \ \beta}\) są dowolnymi kątami. Twoim sposobem pewnie i by się dało, ale raczej tego nie uczą w liceum
marek252
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 662
Rejestracja: 9 wrz 2010, o 21:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 154 razy

Oblicz wyrażenie z funkcjami. Udowodnij, że są tożsamościami

Post autor: marek252 »

Pomoże ktoś?-- 29 mar 2011, o 16:03 --Sprawdzi ktoś moje odpowiedzi?
bercik001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 23 kwie 2011, o 10:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kostrzyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Oblicz wyrażenie z funkcjami. Udowodnij, że są tożsamościami

Post autor: bercik001 »

1a)
\(\displaystyle{ \frac{2-cos 1\frac{2}{3} \pi }{tg(-1 \frac{1}{4} \pi )}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{2-cos270}{tg\left( -225 \right) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{2-0}{-1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{-1}=2:-1=}\)dalej to jest proste

b)
\(\displaystyle{ \frac{tg(-405) \cdot cos225}{-sin(-225) \cdot ctg660}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-tg(360+45) \cdot - \frac{ \sqrt{2} }{2} }{sin225 \cdot ctg(360+300)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1 \cdot (- \frac{ \sqrt{2} }{2} )}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot-\frac{ \sqrt{3} }{3} }= \frac{- \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ - \frac{ \sqrt{5} }{5} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}: \frac{ \sqrt{5} }{5}= \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5}{ \sqrt{5} } = \frac{5 \sqrt{2} }{2 \sqrt{5} } \cdot \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5 } }= \frac{5 \sqrt{10} }{10}= \frac{ \sqrt{10} }{2}}\)

3)\(\displaystyle{ sin75=sin(90-15)=cos15}\)
\(\displaystyle{ cos75=cos(90-15)=sin15}\)
\(\displaystyle{ tg75=tg(90-15)=ctg15}\)
\(\displaystyle{ ctg75=ctg(90-75)=tg15}\)
ODPOWIEDZ