Rozwiąż równania

[aras014]

Oblicz:
\(\displaystyle{ \sin x - \cos x =1}\)
Obliczam to tak:
\(\displaystyle{ \sin ^ 2x-2 \sin x \cos x + \cos ^ 2x=1 \\
1-2 \sin x \cos x =1 \\
-2 \sin x \cos x =0 \\
-2 \sin x =0 \\
x=k\pi \\
\cos x =0 \\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi}\)
Tak to obliczyłem metodą algebraiczną, ale gdy próbuję rozwiązać to graficznie, rozwiązania nie zgadzają się. Gdzie jest błąd?

[miodzio1988]

A skąd niby to pierwsze przejście?

[aras014]

Podniosłem do potęgi lewą część, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

[miodzio1988]

a to tak można?

[aras014]

Wydawało mi się, że tak

[miodzio1988]

No to ja mówię, że nie można. Inny sposob prosimy

[aras014]

Dlaczego nie można? Nie mam innego pomysłu na rozwiązanie tego równania.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ x=1}\)

Co jest rozwiązaniem tego równania? No \(\displaystyle{ x=1}\)

A teraz podnieś obie strony do kwadratu i poszukaj rozwiązań ;] jest ich wiecej?

[aras014]

Dzięki za wytłumaczenie mojego błędu, ale dalej nie wiem jak ruszyć z tym zadaniem.

[ostryo]

Moze tak
\(\displaystyle{ \sin x - \cos x =1}\)

\(\displaystyle{ \cos x = \sqrt{1-\sin^2x}}\)
\(\displaystyle{ \sin x - \sqrt{1-\sin^2x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin x -1 = \sqrt{1-\sin^2x}}\)
\(\displaystyle{ (\sin x -1 )^2 = \left| 1 - sin^2x\right|}\)
\(\displaystyle{ 1 - sin^2x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \sin^2x -2 \sin x +1 = 1 - sin^2x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2x - \sin x = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin x ( \sin x -1 ) = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin x = 0 \vee \sin x = 1}\)
chyba dobrze

[aras014]

\(\displaystyle{ \sin x=0 \\
x=k\pi}\)
Czyli dalej nie zgadza się z wykresem

[ostryo]

Zgadza sie dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystych

[aras014]

Skąd to wynika? Bo na wykresie widać, że zgadza się dla k nieparzystych

[DjFlash]

\(\displaystyle{ \sin x - \cos x =1}\)

Dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i dalej wstawiasz odpowiednie wartości sinusa i kosinusa żeby zastosować wzór:

\(\displaystyle{ \sin (x-y) = \sin x \cos y - \sin y \cos x}\)

Z tego miejsca jest już łatwo.

Ogólnie takie równania dzieli sie stronami przez pierwiastek z sumy kwadratów liczb stojących przed funkcjami.

[aras014]

Głowie się i głowie, i nie udaje mi się zastosować tego co napisałeś.