nierównośc trygonometryczna

[maja55555]

jak rozwiąząć taka nierówność \(\displaystyle{ \sin x (1+ \cos x )>0}\)?

[Nakahed90]

Kiedy iloczyn dwóch liczb jest większy od zera?

[maja55555]

kiedy obie są wieksze od zera lub obie mniejsze. mam rozpatrzeć te dwa przypadki?

[Nakahed90]

Zgadza się.

[Kesalka]

Pamiętaj, że \(\displaystyle{ cosx \in <-1,1>}\)
Tak więc nierówność nie będzie większa od 0, kiedy \(\displaystyle{ cosx=-1}\) lub kiedy sin przyjmie wartość ujemną.

[maja55555]

rozpatrzyłam te przypadki ale nie wiem czy dobrze.
1. \(\displaystyle{ sinx<0 \Leftrightarrow x\in(-\pi+2k\pi,2k\pi)}\)
\(\displaystyle{ 1+cosx<0 \Leftrightarrow cosx<-1}\) sprzeczność.

2.\(\displaystyle{ sinx>0 \Leftrightarrow x\in(2k\pi,\pi+2k\pi)}\)
\(\displaystyle{ 1+cosx>0 \Leftrightarrow cosx>-1 \Leftrightarrow x \in R}\)

Odp. \(\displaystyle{ x\in(-\pi_2k\pi,2k\pi) \vee x\in(2k\pi,\pi+2k\pi)}\)

[Errichto]

Nie zmieni to wyniku ale:
\(\displaystyle{ cosx>-1 \Leftrightarrow x \in R}\)
Nie mogę się z tym zgodzić. Np. \(\displaystyle{ \cos \pi =-1}\). Czyli powinno być:
\(\displaystyle{ x \in (- \pi +2k \pi , \pi +2k \pi )}\) albo \(\displaystyle{ R \setminus \{x:x= \pi +2k \pi \}}\)
I oczywiście trzeba pamiętać o warunku \(\displaystyle{ k \in Z}\) - szczegół

[maja55555]

a reszte jest dobrze tak?

[Errichto]

Nie spojrzałem wcześniej na odpowiedź u Cb.
W pierwszym przypadku nie ma żadnych rozwiązań (bo mamy sprzeczność).
W drugim jest \(\displaystyle{ x\in(2k\pi,\pi+2k\pi)}\)
Czyli razem też:
\(\displaystyle{ x\in(2k\pi,\pi+2k\pi)}\)

[maja55555]

no faktycznie, dzięki!