równanie z parametrem

Beloved · Post autor: **Beloved** » 27 gru 2006, o 19:01

Dla jakich wartości parametru a należącego do zbioru liczb rzeczywistych równanie sinx + cosx = 2a - 3 ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 27 gru 2006, o 19:03

\(\displaystyle{ -\sqrt{2}\leq2a-3\leq\sqrt{2}}\)

Beloved · Post autor: **Beloved** » 27 gru 2006, o 19:15

mmm... a skad sie wziela ta nierownosc?

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 27 gru 2006, o 19:20

\(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) to najmniejsza wartość jaką przyjmuje suma sinx+cosx
\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)to największa wartość jaką przyjmuje ta suma
Żeby to równanie miało jakiekolwiek rozwiązanie to 2a-3 musi się znajdować w przedziale obustronnie domkniętym od minimum do maksimum.

luka52 · Post autor: **luka52** » 27 gru 2006, o 19:24

Można też tak:
\(\displaystyle{ sinx+cosx=2a-3\\
sinx + \frac{sin(\pi / 4)}{cos(\pi / 4)}cosx = 2a -3\\
sinx cos(\pi/4) + cosx sin(\pi / 4) = (2a-3)cos(\pi/4)\\
sin(x+\pi/4)= (2a-3)cos(\pi/4)\\}\)
Aby było jedno rozwiązanie, to:
\(\displaystyle{ -1 q (2a-3)cos(\pi/4) q 1\\
-\sqrt{2} q 2a-3 q \sqrt{2}}\)

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 27 gru 2006, o 19:30

A można też tak:
\(\displaystyle{ sinx+\sqrt{1-sin^{2}x}=2a-3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-sin^{2}x}=2a-3-sinx}\)
\(\displaystyle{ 1-sin^{2}x-1=(2a-3-sinx)^{2}}\)
\(\displaystyle{ -2sin^{2}x+(4a-6)sinx+12a-4a^{2}-8=0}\)
podstawiasz pomocniczą niewiadomą \(\displaystyle{ t=sinx}\) i
\(\displaystyle{ {\Delta}\geq0}\)

max · Post autor: **max** » 27 gru 2006, o 19:58

I jeszcze tak: ( )
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sin x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) = 2\sin \frac{\pi}{4} \cos (x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos (x - \frac{\pi}{4})}\)
Pierwsze przekształcenie z wzorów redukcyjnych, drugie z wzoru na sumę sinusów, a potem podstawienie wartości sinusa dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Stąd się formalnie bierze to co napisał LecHu. I dalej rozwiązujemy podaną już nierówność.
\(\displaystyle{ -\sqrt{2} q 2a - 3 q \sqrt{2}}\)