Równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 409
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 2 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: Damieux »

Oblicz sumę rozwiązań równania \(\displaystyle{ cos\left( \frac{3 \pi }{2}-7x \right)+sinx=6sin\left( \pi +3x\right)}\) należących do przedziału \(\displaystyle{ \left[ - \frac{ \pi }{2};30 \right]}\).
Ja to zacząłem tak: \(\displaystyle{ -sin\left( 7x\right)+sinx=-6\left( 3x\right)}\), dalej: \(\displaystyle{ 6sin\left( 3x\right)-sin\left( 7x\right)+sinx=0}\), następnie:\(\displaystyle{ 6sin\left( 3x\right)+2sin \frac{x-7x}{2}cos \frac{8x}{2}}\), ... aż wreszcie \(\displaystyle{ cos4x=3}\), czyli brak rozwiązan, a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 135 \pi}\)
Ostatnio zmieniony 23 mar 2011, o 08:56 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: irena_1 »

Dobrze robiłeś.
Ale otrzymujesz równanie:
\(\displaystyle{ 6sin 3x-2sin 3x cos 4x=0\\sin 3x(3-cos 4x)=0\\sin 3x=0\ \vee\ cos 4x=3\\cos 4x<1\\sin 3x=0\\3x=k \pi\\x=\frac{k \pi}{3}}\)

Otrzymujesz, jako zbiór rozwiązań ciąg arytmetyczny, w którym (uwzględniając założenie):
\(\displaystyle{ a_1=-\frac{\pi}{3}\\r=\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ k\cdot\frac{\pi}{3}\le30\\k\le28}\)
Mamy więc ciąg o 30 wyrazach (pierwszy ujemny, drugi równy 0 i 28 dodatnich)
\(\displaystyle{ a_{30}=-\frac{\pi}{3}+29\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{28}{3}\pi}\)

I suma tego ciągu skończonego:
\(\displaystyle{ S=\frac{-\frac{\pi}{3}+\frac{28}{3}\pi}{2}\cdot30=9\pi\cdot15=135\pi}\)
Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 409
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 2 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: Damieux »

A rzeczywiście, bo ja skróciłem niepotrzebnie przez\(\displaystyle{ sin3x}\), zamiast od razu wyłączyć przed to przed nawias. Dziękuję za pomoc
ODPOWIEDZ