\(\displaystyle{ \cos (\arctan x)=\frac{1}{ \sqrt{1+x}}}\)
Udowodnić równość :/
Cosinus arcusa tangensa
-
- Użytkownik
- Posty: 180
- Rejestracja: 25 gru 2006, o 13:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 100 razy
Cosinus arcusa tangensa
Ostatnio zmieniony 10 lut 2014, o 17:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Cosinus arcusa tangensa
Skorzystaj z tożsamości:
\(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}}\), jeśli \(\displaystyle{ \alpha (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)}\) gdzie k całkowite. (tożsamość tę łatwo sprawdzić podstawiając \(\displaystyle{ \tan = \frac{\sin }{\cos }}\) i korzystając z jedynki trygonometrycznej)
Niech \(\displaystyle{ x = \tan }\), wtedy \(\displaystyle{ \alpha = \arctan x}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \arctan x (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})}\), to korzystając z podanej tożsamości mamy:
\(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}}\)
Ale \(\displaystyle{ \alpha = \arctan x}\), więc:
\(\displaystyle{ \cos \arctan x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} \arctan x}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}\)
cbdo
[edit]
ale błąd... poprawione
\(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}}\), jeśli \(\displaystyle{ \alpha (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)}\) gdzie k całkowite. (tożsamość tę łatwo sprawdzić podstawiając \(\displaystyle{ \tan = \frac{\sin }{\cos }}\) i korzystając z jedynki trygonometrycznej)
Niech \(\displaystyle{ x = \tan }\), wtedy \(\displaystyle{ \alpha = \arctan x}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \arctan x (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})}\), to korzystając z podanej tożsamości mamy:
\(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}}\)
Ale \(\displaystyle{ \alpha = \arctan x}\), więc:
\(\displaystyle{ \cos \arctan x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} \arctan x}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}\)
cbdo
[edit]
ale błąd... poprawione
Ostatnio zmieniony 29 gru 2006, o 15:37 przez max, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 180
- Rejestracja: 25 gru 2006, o 13:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 100 razy
Cosinus arcusa tangensa
Serdeczne dzięki
[ Dodano: 26 Grudzień 2006, 18:13 ]
hmm max powiedz mi jak sprawdzić tą tożsamość z jedynki trygonometrycznej?
\(\displaystyle{ \sin ^2x + \cos ^2x=1}\)... no ale gdzie tu tangens??
[ Dodano: 26 Grudzień 2006, 18:13 ]
hmm max powiedz mi jak sprawdzić tą tożsamość z jedynki trygonometrycznej?
\(\displaystyle{ \sin ^2x + \cos ^2x=1}\)... no ale gdzie tu tangens??
Ostatnio zmieniony 10 lut 2014, o 17:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Cosinus arcusa tangensa
Ale wstyd, zapomniałem, że \(\displaystyle{ \sqrt{\cos^{2}\alpha} = |\cos \alpha|}\)...
Poprawione, podana tożsamość jest prawdziwa dla takich \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \cos \alpha > 0}\) (czyli dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right)}\), gdzie k całkowite) przyjmuje wartości dodatnie.
Za swoją głupotę szczerze przepraszam.
Poprawione, podana tożsamość jest prawdziwa dla takich \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \cos \alpha > 0}\) (czyli dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right)}\), gdzie k całkowite) przyjmuje wartości dodatnie.
Za swoją głupotę szczerze przepraszam.
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
Cosinus arcusa tangensa
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\\tommy007 pisze:hmm max powiedz mi jak sprawdzić tą tożsamość z jedynki trygonometrycznej?
sin^2x + cos^2x=1... no ale gdzie tu tangens??
\frac{1}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}=1\\
\frac{1}{\frac{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=\cos ^{2}x\\
\frac{1}{1+\tg ^{2}x}=\cos ^{2}x\\
\sqrt{\frac{1}{1+\tg ^{2}x}}=|\cos x|}\)
Cosinus arcusa tangensa
\(\displaystyle{ \cos (\arctg x)}\)
\(\displaystyle{ y=\arctg x \Leftrightarrow \tg y=x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 y + \cos^2 y=1/ \cdot \frac{1}{\cos^2 y} \\
\tg^2 y+1=\frac{1}{\cos^2 y} \\
x^2+1=\frac{1}{\cos^2 y} \\
|\cos y|=\sqrt{\frac{1}{x^2+1}} \\
\cos(\arctg x)=\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}}\)
\(\displaystyle{ y=\arctg x \Leftrightarrow \tg y=x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 y + \cos^2 y=1/ \cdot \frac{1}{\cos^2 y} \\
\tg^2 y+1=\frac{1}{\cos^2 y} \\
x^2+1=\frac{1}{\cos^2 y} \\
|\cos y|=\sqrt{\frac{1}{x^2+1}} \\
\cos(\arctg x)=\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}}\)
Ostatnio zmieniony 10 lut 2014, o 17:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.