Tożsamość trygonemetryczna / obliczanie h trapezu mając kąt

[Anni]

Mam dwa zadania i nie bardzo wiem, jak je zrobić.

Dany jest trapez w którym podstawy mają długości 4 cm i 10 cm, a ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.

Dziwne rzeczy wychodzą, bo wysokości się różnią, a nie powinny. Podobno da się to zrobić układem równań, ale nie wiem, jak. Ja zrobiłam to tak:

podstawę 10 cm podzieliłam na odcinki jeden 4 cm i dwa po 3 cm, te dwa są przyprostokątnymi powstałych z boków trapezu i wysokości trójkątów.
Rozwiązanie:

Pierwsza wysokość:

\(\displaystyle{ tg30^{°}= \frac{h}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}= \frac{h}{3}}\)
\(\displaystyle{ 3h=3 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{3cm}}\)

Druga wysokość:

\(\displaystyle{ tg45^{°}= \frac{h}{3}}\)
\(\displaystyle{ 1= \frac{h}{3}}\)
\(\displaystyle{ h=3cm}\)

Jak widać, wysokości się różnią, a tak chyba nie powinno być.

Kolejne zadanie polega na sprawdzeniu, czy dana równość jest tożsamością. Tego już w ogóle nie umiem, wszystko się miesza, gdy zaczynam liczyć.

\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{tg \alpha }{1+tg^{2} \alpha}}\)

Jak zrobić? Lepiej sprawdzić stronę prawą czy lewą? Jakie działania wykonać?

[aniu_ta]

podstawę 10 cm podzieliłam na odcinki jeden 4 cm i dwa po 3 cm, te dwa są przyprostokątnymi powstałych z boków trapezu i wysokości trójkątów.

Dlaczego?? Ja podzieliłam dłuższą podstawę na 3 odcinki: odcinek \(\displaystyle{ a}\) (przy kącie \(\displaystyle{ \alpha =30 ^{\circ}}\)), odcinek \(\displaystyle{ 4cm}\) i odcinek \(\displaystyle{ b}\) (przy kącie \(\displaystyle{ \beta =45 ^{\circ}}\)).

\(\displaystyle{ \frac{h}{a} = tg \alpha \Rightarrow \frac{h}{a} = \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{b} = tg \beta \Rightarrow \frac{h}{b}=1 \Rightarrow h=b}\)

\(\displaystyle{ a+b=6cm}\)

Twój układ równań:

\(\displaystyle{ \frac{b}{a} = \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ a+b=6cm}\)

[Quaerens]

2)

\(\displaystyle{ P=\frac{\frac{sinx}{cosx}}{1+\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}=\frac{\frac{sinx}{cosx}}{sin^{2}x+cos^{2}x+\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}=\frac{\frac{sinx}{cosx}}{\frac{cos^{2}x(sin^{2}x+cos^{2}x)+sin^{2}x}{cos^{2}x}}=sinxcosx}\)

Oczywiście po redukcji w nawisie masz jedynkę. trygonometryczną.

Pozdrawiam!