pytanie równania wartość bezwzględna

[scav3r]

czy jeśli mam równanie np \(\displaystyle{ |cosx|(cosx+\frac{\pi}{2}) \ge}\)
to pierwsza sytuacja
\(\displaystyle{ cosx \ge 0}\) \(\displaystyle{ i}\) \(\displaystyle{ cosx \ge \frac{\pi}{2}}\) \(\displaystyle{ i}\) \(\displaystyle{ cosx \in <-1;1>}\)
z tego wynika że \(\displaystyle{ x \in <-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}>}\)

i teraz mam pytanie do drugiej sytuacji dla modułu
czy druga sytuacja będzie wyglądała tak :
\(\displaystyle{ cosx \le 0}\) \(\displaystyle{ i}\) \(\displaystyle{ cosx \le \frac{\pi}{2}}\) \(\displaystyle{ i}\) \(\displaystyle{ cosx \in <-1;1>}\)
czy
\(\displaystyle{ -cosx \le 0}\) \(\displaystyle{ i}\) \(\displaystyle{ cosx \le \frac{\pi}{2}}\) \(\displaystyle{ i}\) \(\displaystyle{ cosx \in <-1;1>}\)

chodzi mi o to czy w drugim wypadku przepisuje wartość pod modułem po prostu \(\displaystyle{ cos \le 0}\) czy \(\displaystyle{ -cos \le 0}\)?

[Crizz]

Hmmm... czy równanie miało mieć postać \(\displaystyle{ |\cos x|(\cos x+\frac{\pi}{2}) \ge 0}\)?

Jeśli tak, to przecież \(\displaystyle{ |\cos x|}\) jest zawsze większe lub równe zero, jak to moduł. Dlatego tym nie ma sobie co głowy zawracać, pomyśl o drugim czynniku.

A ten drugi czynnik to nie miało być przypadkiem \(\displaystyle{ \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\)?

[scav3r]

miało być tak jak napisałeś wkradł się błąd. wiem że to odrazu jasne że pod modułem wartość nie może być ujemna ale gdybym chciał to zanalizować to bym musiał zapisać dla drugiej sytuacji założenia

dla \(\displaystyle{ cosx<0}\)
\(\displaystyle{ -cosx \le 0}\) i \(\displaystyle{ cosx \le \frac{\pi}{2}}\) czy ten zapis uwzględnia wszystkie założenia i jest poprawny?

[Crizz]

Drugim przypadkiem powinno być \(\displaystyle{ \cos x <0}\).

Chodzi ci, o to, że drugi czynnik, czyli \(\displaystyle{ \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\), ma być niedodatni? Bzdura, bo gdy \(\displaystyle{ \cos x <0}\), to opuszczamy moduł ze zmianą znaku i mamy \(\displaystyle{ -\cos x \cdot \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \ge 0}\). Wiemy przecież, że \(\displaystyle{ \cos x <0}\), czyli \(\displaystyle{ -\cos x >0}\), czyli właśnie ma znowu być \(\displaystyle{ \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \ge 0}\), tak samo jak w pierwszym przypadku.

[TheBill]

przecież \(\displaystyle{ |\cos x|}\) jest zawsze większe lub równe zero, jak to moduł. Dlatego tym nie ma sobie co głowy zawracać, pomyśl o drugim czynniku.

Czyli wg powyższego \(\displaystyle{ |cosx|cos(x+\frac{\pi}{2}) \ge0 \Leftrightarrow cos(x+\frac{\pi}{2}) \ge0}\) ?

[Crizz]

No tak.

[scav3r]

chyba nie do końca rozumiesz o co mi chodzi, chodzi mi o sam zapis. bo gdy jest nierówność np.
\(\displaystyle{ a*b>0}\)
to możemy założyć dwa przpadki
\(\displaystyle{ 1. a>0 i b>0}\)
lub
\(\displaystyle{ 2. a<0 i b<0}\)
i o takie rozumowanie mi chodzi. wiem że moduł nie będzie nigdy dodatni ale chodzi mi o zapis i założenia

[Jan Kraszewski]

Czyli wg powyższego \(\displaystyle{ |cosx|cos(x+\frac{\pi}{2}) \ge0 \Leftrightarrow cos(x+\frac{\pi}{2}) \ge0}\) ?

No tak.

No nie. Może być \(\displaystyle{ \cos x=0}\) i \(\displaystyle{ \cos(x+\frac{\pi}{2})<0}\) (np. dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\)).

JK

[Crizz]

Hmmm...fakt Przepraszam za zamieszanie.

W takim razie jednak wystarczy dołożyć do rozwiązania rozpatrzenie przypadku \(\displaystyle{ \cos x=0}\).

[TheBill]

No nie. Może być \(\displaystyle{ \cos x=0}\) i \(\displaystyle{ \cos(x+\frac{\pi}{2})<0}\) (np. dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\)).

Dokładnie, o to mi chodziło