Znajdź rozwiązanie

[wanilia_]

\(\displaystyle{ \sin ^{2007} x+ \cos ^{2007} x = 1}\)

[Psiaczek]

sin ^{2007} x+ cos ^{2007} x = 1

Ciekawe jak to można ładnie zrobić . Bo fizycznie mozna tak:

1)Widać że gdy jedna z funkcji ma wartość zero a druga jeden to wszystko gra.

2) Nie może być żaden składnik ujemny bo "się nie nadrobi" zeby doszlo do jedynki

3)Jesli obie sinus i cosinus maja wartosci z przedziału otwartego (0,1) to dwatysiace siodma potega jest ostro mniejsza niz druga i z jedynki trygonometrycznej mamy ostre szacowanie z gory - brak rozwiazan

To taki szkic rozwiazania z grubsza

[wanilia_]

Dziękuję za szkic rozwiązania, ale nadal jestem ciekawa jak to można ładniej zrobić;)

[JakimPL]

Wiemy, że:

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 1 \Rightarrow \left[x=2\pi k \vee x=\frac{1}{4} \left(4\pi k + \pi \right), k \in \mathbb{Z}\right]}\)

W zbiorze liczb rzeczywistych sprawa ma się dosyć prosto. Skorzystajmy z tego, iż dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ (a^n+b^n)=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\ldots-ab^{n-2}+b^{n-1})}\)

Podstawmy \(\displaystyle{ a=\sin x}\) oraz \(\displaystyle{ b=\cos x}\).

Pierwszy czynnik stanowi nasze pierwsze rozwiązanie. Można wykazać, iż wielomian w drugim iloczynie nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych (natomiast istnieją w dziedzinie liczb zespolonych).

[Lorek]

Można tak:
\(\displaystyle{ \sin^{2007}x+\cos^{2007}x=\sin^2x+\cos^2x\\\sin^{2007}x-\sin^2x=\cos^2x-\cos^{2007}x\\\sin^2x(\sin^{2005}x-1)=\cos^2x(1-\cos^{2005}x)}\)
i teraz można pokazać, że lewa strona jest niedodatnia, a prawa nieujemna.