Wykaż, że liczba jest mniejsza od 0,5
-
juti
- Użytkownik
- Posty: 295
- Rejestracja: 14 paź 2010, o 13:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 12 razy
Wykaż, że liczba jest mniejsza od 0,5
Wykaż, że dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha \in (0 ^{\circ}, 90 ^{\circ})}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \tg \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha < 0,5.}\) Skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2 \alpha}\).
Ostatnio zmieniony 14 mar 2011, o 18:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Wykaż, że liczba jest mniejsza od 0,5
\(\displaystyle{ \tg\alpha \cdot \cos^2\alpha= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos^2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}\), to \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha}\).
Dodatkowo sinus z czegokolwiek musi być mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\), więc jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin2\alpha<1}\), to \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha< \frac{1}{2}}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}\), to \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha}\).
Dodatkowo sinus z czegokolwiek musi być mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\), więc jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin2\alpha<1}\), to \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha< \frac{1}{2}}\).