Równanie trygonometryczne - wzór redukcyjny

[quebec]

Hej.
Mam takie prościutkie równanie: \(\displaystyle{ \cos x = -\frac{1}{2}}\)
Wiem, że rozwiązać to trzeba z wzoru redukcyjnego, ale gdzieś robię coś źle... Czy ktoś może mi pokazać gdzie?
\(\displaystyle{ \cos x = -\frac{1}{2} \\
-\cos x = \frac{1}{2} \\
\cos (\pi -x) = \frac{1}{2} \\
\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \\
\pi - x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \vee \pi - x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \\
\pi - \frac{\pi}{3} - 2k\pi = x \vee \pi + \frac{\pi}{3} - 2k\pi = x \\
x = \frac{2\pi}{3} - 2k\pi \vee x = \frac{4\pi}{3} - 2k\pi \\}\)
Jedno rozwiązanie jest prawidłowe - \(\displaystyle{ x=\frac{2\pi}{3}-2k\pi}\), ale drugie już nie :< W odpowiedziach jest drugie rozwiązanie \(\displaystyle{ x=-\frac{2\pi}{3}-2k\pi}\). Co popsułem?

[kropka+]

Zapisałeś inaczej to samo rozwiązanie. Żeby było zapisane elegancko, jak w książce to od razu wylicz x czyli napisz

\(\displaystyle{ \pi - x= \frac{ \pi }{3} \Rightarrow x= \frac{2 \pi }{3}\\
x= \frac{2 \pi }{3}+ 2k \pi \vee x= - \frac{2 \pi }{3}+ 2k \pi}\)

Znak minus przed \(\displaystyle{ 2k \pi}\) jest niepotrzebny, bo k jest dowolną liczbą całkowitą więc nasze równania i tak obejmą wszystkie rozwiązania ujemne i dodatnie.

[quebec]

Dzięki, nie zauważyłem tego. Z tym minusem/plusem przed \(\displaystyle{ 2k\pi}\) już ogarnąłem, ale jakoś wolę zostawić sobie na koniec taki znak jaki mi wyszedł, żeby mi się nie pomieszało ;]

[piasek101]

Hej.
Mam takie prościutkie równanie: \(\displaystyle{ \cos x = -\frac{1}{2}}\)
Wiem, że rozwiązać to trzeba z wzoru redukcyjnego...

Możesz tak robić, ale naturalnym sposobem jest : wykres kosinusa; wykres (-0,5); i odczytanie gdzie się przecinają.