Polecenie jak w tytule - sprawdź czy podane równości są tożsamościami
a) \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \tg \alpha }{\sin \alpha }= 1 + \frac{1}{\cos \alpha}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\ctg \alpha \cdot (1+\tg^{2} \alpha}{1+\ctg^{2} \alpha}=\tg \alpha}\)
c)\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\cos \alpha}+ \frac{1}{1+\cos \alpha}=\frac{2}{\sin^{2} \alpha}}\)
d) \(\displaystyle{ 1- \cos \alpha=\frac {\tg \alpha - \sin \alpha}{\tg \alpha}}\)
e) \(\displaystyle{ (\frac{1}{\cos \alpha}-\frac{1}{\sin \alpha})\cdot (1+\tg \alpha+\ctg \alpha)= \frac{\sin \alpha}{\cos^{2} \alpha}- \frac {\cos \alpha}{\sin^{2} \alpha}}\)
f) \(\displaystyle{ (1-\cos \alpha)\cdot (\frac{1}{\sin \alpha}+ \frac {1}{\tg \alpha})-\sin \alpha=0}\)
Prosiłabym o pomoc. Przynajmniej o jakieś nakierowanie na rozwiązanie. Z góry dziękuje.
Sprawdź czy podane równości są tożsamościami
-
dall
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 15 razy
Sprawdź czy podane równości są tożsamościami
Ostatnio zmieniony 13 mar 2011, o 17:02 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Proszę nie traktować nazwy tematu jak treści zadania.
Powód: Proszę nie traktować nazwy tematu jak treści zadania.
-
milka333
- Użytkownik
- Posty: 251
- Rejestracja: 21 paź 2010, o 16:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Siedlce
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 17 razy
Sprawdź czy podane równości są tożsamościami
a) \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \tg \alpha }{\sin \alpha }= 1+\frac{ \tg \alpha }{\sin \alpha }=1+\frac{ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} }{\sin \alpha }=1 + \frac{1}{\cos \alpha}}\)
Najlepiej jeśli otworzysz tablice matematyczne. Jednak myślę, że wystarczą wzory podstawowe i na jedynkę trygonometryczną. Tam gdzie można albo sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, albo je rozbić tak jak w a).
Powodzenia
Najlepiej jeśli otworzysz tablice matematyczne. Jednak myślę, że wystarczą wzory podstawowe i na jedynkę trygonometryczną. Tam gdzie można albo sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, albo je rozbić tak jak w a).
Powodzenia
-
damianxb3
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 30 sty 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 27 razy
Sprawdź czy podane równości są tożsamościami
b)
\(\displaystyle{ L = \frac{\ctg \alpha \left( 1 + \frac{1}{\ctg^{2} \alpha} \right) }{1 + \ctg^{2} \alpha} = \frac{\ctg \alpha + \frac{1}{\ctg \alpha}}{1 + \ctg^{2} \alpha} = \frac{\frac{1 + \ctg^{2} \alpha}{\ctg \alpha}}{1 + \ctg^{2} \alpha} = \frac{1 + \ctg^{2} \alpha}{\ctg \alpha} \cdot \frac{1}{1 + \ctg^{2} \alpha} = \frac{1}{\ctg \alpha} = \tg \alpha = P}\)
c) Rozszerzając wzorem skróconego mnożenia na rónicę kwadratów do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ L = \frac{1 + \cos \alpha + 1 - \cos \alpha}{1 - \cos ^{2} \alpha} = \frac{2}{\sin^{2} \alpha} = P}\)
d)
\(\displaystyle{ P = \frac{\tg \alpha}{\tg \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\tg \alpha} = 1 - \frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = 1 - \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1 - \cos \alpha = L}\)
e) Trzeba po prostu wymnożyć wszystkie wyrazy z nawiasów:
\(\displaystyle{ L = \frac{1}{\cos \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos^{2} \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin^{2} \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos^{2} \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin^{2} \alpha} = P}\)
f)
\(\displaystyle{ L = \left( 1 - \cos \alpha \right)\left( \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha - \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha = \frac{1 - \cos \alpha + \cos \alpha - \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{0}{\sin \alpha} = 0 = P}\)
\(\displaystyle{ L = \frac{\ctg \alpha \left( 1 + \frac{1}{\ctg^{2} \alpha} \right) }{1 + \ctg^{2} \alpha} = \frac{\ctg \alpha + \frac{1}{\ctg \alpha}}{1 + \ctg^{2} \alpha} = \frac{\frac{1 + \ctg^{2} \alpha}{\ctg \alpha}}{1 + \ctg^{2} \alpha} = \frac{1 + \ctg^{2} \alpha}{\ctg \alpha} \cdot \frac{1}{1 + \ctg^{2} \alpha} = \frac{1}{\ctg \alpha} = \tg \alpha = P}\)
c) Rozszerzając wzorem skróconego mnożenia na rónicę kwadratów do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ L = \frac{1 + \cos \alpha + 1 - \cos \alpha}{1 - \cos ^{2} \alpha} = \frac{2}{\sin^{2} \alpha} = P}\)
d)
\(\displaystyle{ P = \frac{\tg \alpha}{\tg \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\tg \alpha} = 1 - \frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = 1 - \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1 - \cos \alpha = L}\)
e) Trzeba po prostu wymnożyć wszystkie wyrazy z nawiasów:
\(\displaystyle{ L = \frac{1}{\cos \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos^{2} \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin^{2} \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos^{2} \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin^{2} \alpha} = P}\)
f)
\(\displaystyle{ L = \left( 1 - \cos \alpha \right)\left( \frac{1}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha - \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha = \frac{1 - \cos \alpha + \cos \alpha - \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{0}{\sin \alpha} = 0 = P}\)