rozwiąż równanie

[sorcerer123]

\(\displaystyle{ \sin ^{10} x + \cos ^{10}x= \frac{29}{16}\cos ^{4} 2x}\)

ja bym osobiście zapisał
\(\displaystyle{ \cos ^{10}x}\) jako \(\displaystyle{ (1-\sin ^{2}x) ^{5}}\) i teraz podniósłbym to do potęgi piątej,
zaś
\(\displaystyle{ \cos ^{4} 2x}\) jako \(\displaystyle{ (1-2\sin ^{2} ) ^{4}}\) i to do potęgi czwartej


wyjdzie coś z tego, czy jest to zły pomysł, ma ktoś może inny, lepszy?

[Simon86]

trzeba chyba jednak rozwijać dwumian Newtona do potęgi 5, można jedynie dla ułatwienia sobie podstawić ze:

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x = t}\)

Wtedy równanie będzie miało taką postać:

\(\displaystyle{ t^{5} + \left( 1 - t\right)^{5} = 29 \cdot t^{2} \cdot \left( 1 - t\right)^{2}}\)

\(\displaystyle{ t^{5}}\) się na pewno skróci bo tam jest minus w nawiasie i będzie prawdopodobnie równanie czwartego stopnia

[Qń]

Prościej rachunkowo chyba będzie podstawić:
\(\displaystyle{ \cos^2x=\frac 12 +t \\
\sin^2x=\frac 12 -t}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \cos 2x = 2t}\)
i równanie ma postać:
\(\displaystyle{ \left( \frac 12 +t\right)^5 +\left( \frac 12 -t\right)^5 =29t^4}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( \frac{1}{32} + \frac 18 \cdot 10t^2 + \frac 12 \cdot 5t^4\right) =29t^4}\)
i podstawienie \(\displaystyle{ t^2=u}\) prawie zakończy sprawę.

Q.

[sorcerer123]

dzięki wielkie, macie może wyniki, bo mi wyszło

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{8}+k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x= - \frac{ \pi }{8}+k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{3 \pi }{8}+k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x=- \frac{3 \pi }{8}+k \pi}\)