Tożsamości trygonometryczne

[biki]

Witam !
Mam takie zadania i trzeba udowodnić, czy są one tożsamościami.

1)\(\displaystyle{ \frac{2}{2 \cos ^ {2} \alpha }-(\tg \alpha +\ctg \alpha )^{2}= \tg ^ {2}- \ctg ^ {2}}\)

2)\(\displaystyle{ 1-2 \sin ^ {2} \alpha \cdot \cos ^ {2} \alpha = \sin ^ {4} \alpha + \cos ^ {4} \alpha}\)

3)\(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha -1}+ \tg \alpha = - \frac{1}{\cos \alpha }}\)

4)\(\displaystyle{ \tg ^{2} \alpha - \sin ^ {2} \alpha = \tg ^ {2} \alpha \cdot \sin ^ {2} \alpha}\)

z góry dziękuję za pomoc

[Quaerens]

No wiadomo lewa strona musi równać się prawej tak? Działaj tak jak na ułamkach z tym, że pamiętaj jak wygląda inaczej tg oraz ctg.

[biki]

no wiem, wiem, ale siedzę nad tym i nie moge tego jakoś sensownie rozpisać :/

[Lbubsazob]

Np. w pierwszym po uproszczeniu masz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2\alpha}- \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} -2 - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}\)
Teraz spróbuj to sprowadzić do wspólnego mianownika i pokombinować tak, żeby wyszedł podany wynik.

[biki]

no tak w sumie 1 proste, ale reszta to cieżko.

[Lbubsazob]

Drugie:
\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\left( \sin^2\alpha\right)^2+\left( 1-\sin^2\alpha\right)^2=\sin^4\alpha+1-2\sin^2\alpha+\sin^4\alpha=2\sin^4\alpha-2\sin^2\alpha+1=-2\sin^2\alpha\left( -\sin^2\alpha+1\right) +1=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}\)-- 7 mar 2011, o 20:53 --W trzecim spróbuj to sprowadzić do wspólnego mianownika.
W czwartym to samo, w liczniku spróbuj wyłaczyć coś przed nawias i wykorzystać jedynkę trygonometryczną.