Przekształcenie trygonometryczne

[raidmaster]

Jak przekształcić:
\(\displaystyle{ cos2x+cos(2x+\frac{4\pi}{3})}\)
żeby otrzymać:
\(\displaystyle{ -cos(2x+\frac{2\pi}{3})}\)

Interesuje mnie, gdzie i z jakich własności się korzysta, i jak się przekształca.

[Vixy]

\(\displaystyle{ cos2x}\)+\(\displaystyle{ cos2x}\)\(\displaystyle{ cos240}\)-\(\displaystyle{ sin2x}\)\(\displaystyle{ sin240}\)

\(\displaystyle{ cos240}\)=cos(270-30)= \(\displaystyle{ -sin30}\)= -\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin240}\)=sin(270-30)= -\(\displaystyle{ cos30}\)
\(\displaystyle{ cos2x}\)-\(\displaystyle{ -1/2}\)\(\displaystyle{ cos2x}\)+\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)/2 \(\displaystyle{ sin2x}\)=1/2\(\displaystyle{ cos2x}\)+\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)/2\(\displaystyle{ sin2x}\)=1/2 (1-\(\displaystyle{ 2sin^2x}\))+\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)\(\displaystyle{ sinx}\)\(\displaystyle{ cosx}\)=1/2-\(\displaystyle{ sin^2x}\)+\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)\(\displaystyle{ sinx cosx}\)

[Lady Tilly]

Korzystasz tu ze wzoru:
\(\displaystyle{ cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}{\cdot}cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\)
przy czym:
\(\displaystyle{ \alpha=2x}\)
\(\displaystyle{ \beta=2x+\frac{4\pi}{3}}\)

[raidmaster]

Korzystasz tu ze wzoru:
\(\displaystyle{ cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}{\cdot}cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\)
przy czym:
\(\displaystyle{ \alpha=2x}\)
\(\displaystyle{ \beta=2x+\frac{4\pi}{3}}\)

Tak to wiem, tylko co dalej. Jak dość do:
\(\displaystyle{ -cos(2x+\frac{2\pi}{3})}\)
z tego:
\(\displaystyle{ 2cos(2x+\frac{2\pi}{3})cos(-\frac{2\pi}{3})}\) (Postać po zastosowaniu wzorów Vernera)

[Lorek]

A \(\displaystyle{ \cos\frac{-2\pi}{3}}\) to ile?

[raidmaster]

Jak mam zamienić ten \(\displaystyle{ \cos\frac{-2\pi}{3}}\)? Bo przyznaje się bez bicia, że nie wiem.

[Lorek]

Ze wzorów redukcyjnych
\(\displaystyle{ \cos(-\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha}\)