Równanie z funkcjami potrojonego kąta

[quebec]

Czy ktoś jest w stanie rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}}\) ?

[pipol]

podstaw \(\displaystyle{ \sin 3x =\frac{2u}{1+u^2 } , \cos 3x =\frac{1-u^2 }{1+u^2}}\) gdzie \(\displaystyle{ u =\tan \frac{3x}{2}}\)

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ t:=3x}\)

rozwiązujemy

\(\displaystyle{ \sin t+\cos t=\sqrt 2}\)

to jest standardowe równanie, czyli szukamy jednego rozwiązania szczególnego i wypisujemy rozwiązanie ogólne, ale tu można zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sin x+\cos x}\) osiąga ekstrema w punktach zerowania się pochodnej, czyli w punktach postaci \(\displaystyle{ \frac\pi 4+n\pi}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\). Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych są to minima, \(\displaystyle{ -\sqrt 2}\), zaś dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych maksima, \(\displaystyle{ \sqrt 2}\). Zatem rozwiązaniami są \(\displaystyle{ t}\) postaci \(\displaystyle{ \frac\pi 4+2k\pi, k\in\mathbb{Z}}\), czyli \(\displaystyle{ x}\) postaci \(\displaystyle{ \frac{\frac\pi 4+2k\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}}\).

[mateuszek89]

Ogólnie można pokazać, że \(\displaystyle{ \sin x + \cos x \le \sqrt{2} (*)}\), a równość zachodzi wtedy \(\displaystyle{ \sin x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\). czyli pozostaje do rozwiązania proste równanie. U Ciebie jest tylko \(\displaystyle{ 3x}\), ale to niczego nie zmienia. Pozdrawiam!

[McMurphy]

Można inaczej:mnożysz obie strony równania przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Następnie zauważasz, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to wartość \(\displaystyle{ sin x}\) dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) oraz \(\displaystyle{ cos x}\) dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) dzięki czemu otrzymujesz po lewej stronie wzór na \(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta)}\) i rozwiązujesz proste równanie trygonometryczne.