Równania trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Serchio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 gru 2006, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Polski
Podziękował: 5 razy

Równania trygonometryczne

Post autor: Serchio »

Proszę o pomoc, robię, ale niestety albo zadanie kończy się w martwym punkcie, albo otrzymuję zły wynik

Rozwiąż równania bez pomocy tablic matematycznych
1. \(\displaystyle{ 2cosx+3=4cos\frac{x}{2}}\)

2. \(\displaystyle{ (sinx+cosx)^{2}=cos2x}\)

3. \(\displaystyle{ sin^{4}\frac{x}{3}+cos^{4}\frac{x}{3}=\frac{5}{8}}\)

4. \(\displaystyle{ sin^{2}2x=sin3x+sinx}\)

5. \(\displaystyle{ sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x}\)

6. \(\displaystyle{ sinxsin2x=cosxcos2x}\)

7. \(\displaystyle{ cosxsin7x=cos3xsin5x}\)

Najbardziej zależy mi na 3 pierwszych. Z góry dziękuje za pomoc.
Awatar użytkownika
d(-_-)b
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 210
Rejestracja: 26 lis 2006, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Pomógł: 98 razy

Równania trygonometryczne

Post autor: d(-_-)b »

1) przyjmijmy \(\displaystyle{ x=2\alpha}\), wtedy

\(\displaystyle{ 2cos(2\alpha)+3=4cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2(cos^2\alpha-sin^2\alpha)+3-4cos\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ 2cos^\alpha-2sin^2\alpha-4cos\alpha+3=0}\)
\(\displaystyle{ 2cos^2\alpha-2(1-cos^2\alpha)-4cos\alpha+3=0}\)
\(\displaystyle{ 4cos^2\alpha-4cos\alpha+1=0}\)
\(\displaystyle{ (2cos\alpha-1)^2=0}\), czyli

\(\displaystyle{ 2cos\alpha-1=0}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{1}{2}}\) - to już łatwo policzyć, pamiętaj ,żeby póżniej uwzględnć \(\displaystyle{ x=2\alpha}\)

2)
\(\displaystyle{ sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=cos^2x-sin^2x}\)
\(\displaystyle{ 2sin^2x+2sinxcosx=0}\)
\(\displaystyle{ 2sinx(sinx+cosx)=0}\), czyli

\(\displaystyle{ 2sinx=0 sinx+cosx=0}\)
\(\displaystyle{ sinx=0 sinx=-cosx}\)

3) przyjmijmy \(\displaystyle{ x=3\alpha}\), wtedy

\(\displaystyle{ sin^4\alpha+cos^4\alpha=\frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ (sin^2\alpha+cos^2\alpha)^2-2sin^2\alpha cos^2\alpha=\frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ 1-2sin^2\alpha cos^2\alpha=\frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2sin^2\alpha cos^2\alpha=\frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2sin^2\alpha (1-sin^2\alpha)=\frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2sin^2\alpha -2sin^4\alpha)=\frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ 16sin^2\alpha -16sin^4\alpha)=3}\)
\(\displaystyle{ 16sin^4\alpha -16sin^2\alpha+3=0}\)

stosujemy podstwienie \(\displaystyle{ sin^2\alpha=t}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ t\in \langle -1,1 \rangle}\), zatem

\(\displaystyle{ 16t^2-16t+3=0}\) (delta i pierwiastki)

\(\displaystyle{ t=\frac{3}{4} t=\frac{1}{4}}\) (sprawdzamy, z założeniem wyniki \(\displaystyle{ t\in \langle -1,1 \rangle}\) - oba spełniają warunek, zatem

\(\displaystyle{ sin^2\alpha=\frac{3}{4} sin^2\alpha=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2} sin\alpha=\frac{1}{2} sin\alpha=-\frac{1}{2}}\)

rozwiązujesz to i wracasz do zmiennej x, pamiętając, że \(\displaystyle{ x=2\alpha}\)
Ostatnio zmieniony 17 gru 2006, o 18:30 przez d(-_-)b, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
LecHu :)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 953
Rejestracja: 23 gru 2005, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BFGD
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 162 razy

Równania trygonometryczne

Post autor: LecHu :) »

3.
Podstawiasz: \(\displaystyle{ \frac{x}{3}=t}\)
Potem korzystasz z jedynki trygonometrycznej i podnosisz obie strony do kwadratu, potem podstawiasz za cos lub sin do 4 z jedynki trygonometrycznej (podnosząc znowu 1-(sin/cos) do kwadratu) i otrzymasz równanie kwadratowe gdzie za \(\displaystyle{ sin^{4}x lub cos^{4}x}\) podstwaisz kolejną niewiadomą. Potem postępujesz jak z trójmianem: delta itd. i wracasz do kolejnych podstawień a wyniki powstawiaj do pierwszego równania i sprawdź czy się wszysko zgadza.
Awatar użytkownika
d(-_-)b
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 210
Rejestracja: 26 lis 2006, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Pomógł: 98 razy

Równania trygonometryczne

Post autor: d(-_-)b »

4)
\(\displaystyle{ (2sinxcosx)^2=sin(2x+x)+sinx}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2xcos^2x=sin2xcosx+cos2xsinx+sinx}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x(1-sin^2x)=2sinxcos^2x+(cos^2x-sin^2x)sinx+sinx}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x-4sin^4x=2sinx(1-sin^2x)+(1-2sin^2x)sinx+sinx}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x-4sin^4x=2sinx-2sin^3x+sinx-2sin^3x+sinx}\)
\(\displaystyle{ 4sin^2x-4sin^4x=4sinx-4sin^3x}\)
\(\displaystyle{ 4sin^4x-4sin^3x-4sin^2x+4sinx=0}\)
\(\displaystyle{ 4sin^3x(sinx-1)-4sinx(sinx-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (4sin^3x-4sinx)(sinx-1)=0}\)
\(\displaystyle{ 4sinx(sin^2x-1)(sinx-1)=0}\)
\(\displaystyle{ sinx(sinx+1)(sinx-1)^2=0}\),czyli

\(\displaystyle{ sinx=0 sinx=-1 sinx=1}\)

6)
\(\displaystyle{ cosxcos2x-sinxsin2x=0}\)
\(\displaystyle{ cos(x+2x)=0}\)
\(\displaystyle{ cos3x=0}\)


7)
\(\displaystyle{ cosxsin(5x+2x)=cos(2x+x)sin5x}\)
\(\displaystyle{ cosx(sin(5x)cos(2x)+cos(5x)sin(2x))=sin5x(cos(2x)cosx-sin(2x)sinx)}\)
\(\displaystyle{ sin(5x)cos(2x)cosx+cosxcos(5x)sin(2x)=sin(5x)cos(2x)cosx-sin(5x)sin(2x)sinx}\)
\(\displaystyle{ cosxcos(5x)sin(2x)+sin(5x)sin(2x)sinx=0}\)
\(\displaystyle{ sin2x(cos(5x)cosx+sin(5x)sinx)}\)
\(\displaystyle{ sin2x cos(5x-x)=0}\)
\(\displaystyle{ sin(2x)cos(4x)=0}\)
\(\displaystyle{ sin2x=0 cos4x=0}\)
Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

Równania trygonometryczne

Post autor: Vixy »

5)

sinx+sin3x+sin2x=cosx+cos3x+cos2x
\(\displaystyle{ 2sin}\)\(\displaystyle{ frac{4x}{2}\(\displaystyle{ cosx}\)+\(\displaystyle{ sin2x}\)=\(\displaystyle{ 2cos}\)\(\displaystyle{ \frac{4x}{2}}\) *\(\displaystyle{ cosx}\)+\(\displaystyle{ cos2x}\)

\(\displaystyle{ sin2x}\) (\(\displaystyle{ 2cosx}\)+1)=\(\displaystyle{ cos2x}\)(\(\displaystyle{ 2cosx}\)+1)

cos2x=sin2x
ii juz łatwo:)}\)
ODPOWIEDZ