Mam zapewne banalne pytanie, ale niestety nie moge wpaść na pomysł rozwiązania.
Jak uzależnic tg(x/2) do funkcji cos(x) lub sin(x). Przepraszam ze nie uzywam latexa, ale jestem poczatkujacy, a to co napisalem raczej jest czytelne. Pozdrawiam
tangens połowy kąta a sinus i cosinus
-
Simon86
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnowskie Góry
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 39 razy
tangens połowy kąta a sinus i cosinus
wiadomo że \(\displaystyle{ sin 2x = 2sinx \cdot cosx}\)
równie dobrze \(\displaystyle{ sin x = 2sin\frac{x}{2} \cdot cos\frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx = \frac{2sin\frac{x}{2} \cdot cos\frac{x}{2}}{1}}\)
\(\displaystyle{ sinx = \frac{2sin\frac{x}{2} \cdot cos\frac{x}{2}}{sin^{2}\frac{x}{2} + cos^{2}\frac{x}{2}}}\)
\(\displaystyle{ sinx = \frac{2tg \frac{x}{2} }{tg^{2} \frac{x}{2} + 1}}\)
przekształcamy to równanie i rozwiązujemy względem \(\displaystyle{ tg \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot tg^{2}\frac{x}{2} - 2tg\frac{x}{2} + sinx = 0}\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2} = t}\)
\(\displaystyle{ t^{2} sinx - 2t + sinx = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 4sin^{2}x}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 2cosx}\)
dla kata należącego do pierwszej ćwiartki przyjmujemy pierwsze rozwiązanie \(\displaystyle{ t _{1}}\)
\(\displaystyle{ t_{1} = tg \frac{x}{2} = \frac{2 + 2cosx}{2sinx} = \frac{1 + cosx}{sinx}}\)
równie dobrze \(\displaystyle{ sin x = 2sin\frac{x}{2} \cdot cos\frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx = \frac{2sin\frac{x}{2} \cdot cos\frac{x}{2}}{1}}\)
\(\displaystyle{ sinx = \frac{2sin\frac{x}{2} \cdot cos\frac{x}{2}}{sin^{2}\frac{x}{2} + cos^{2}\frac{x}{2}}}\)
\(\displaystyle{ sinx = \frac{2tg \frac{x}{2} }{tg^{2} \frac{x}{2} + 1}}\)
przekształcamy to równanie i rozwiązujemy względem \(\displaystyle{ tg \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx \cdot tg^{2}\frac{x}{2} - 2tg\frac{x}{2} + sinx = 0}\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2} = t}\)
\(\displaystyle{ t^{2} sinx - 2t + sinx = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 4sin^{2}x}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 2cosx}\)
dla kata należącego do pierwszej ćwiartki przyjmujemy pierwsze rozwiązanie \(\displaystyle{ t _{1}}\)
\(\displaystyle{ t_{1} = tg \frac{x}{2} = \frac{2 + 2cosx}{2sinx} = \frac{1 + cosx}{sinx}}\)
Ostatnio zmieniony 27 lut 2011, o 15:11 przez Simon86, łącznie zmieniany 1 raz.
tangens połowy kąta a sinus i cosinus
dziękuje. a na maturze gdybym podal np odpowiedz \(\displaystyle{ tg( \frac{x}{2} ) \cdot cos(x)}\) to mysliscie ze dostalbym maksimum punktow?