Sprawdź następujące tożsamości

[offtyper]

Witam
Proszę o pomoc w zadaniu.
Sprawdź następujące tożsamości:
\(\displaystyle{ \left( \frac{\sin\alpha + \tg\alpha}{ \frac{1}{\sin\alpha} + \ctg\alpha } \right) ^{2} =\frac{\sin^{2}\alpha + \tg^{2}\alpha}{ \frac{1}{\sin^{2}\alpha} + \ctg^{2}\alpha }}\)

Pozdrawiam,
offtyper.

[Qń]

Szkic:
\(\displaystyle{ \left( \frac{s+ \frac sc}{\frac 1s + \frac cs}\right)^2= \frac{s^2 \cdot \left( \frac{1+c}{c}\right)^2 }{\frac{1}{s^2} \cdot (1+c)^2}= \frac{s^2 \cdot \frac{1}{c^2}}{\frac{1}{s^2} \cdot 1} = \frac{s^2 \cdot \frac{1+c^2}{c^2}}{\frac{1}{s^2} \cdot (1+c^2)}= \frac{s^2 + \left( \frac sc\right)^2 }{\frac{1}{s^2} +\left( \frac cs\right)^2 }}\)

Q.

[offtyper]

Przykro mi, ale nic z tego nie rozumiem.
Mógłbyś (bądź też ktoś inyy) mi to przedstawić nieco jaśniej?

Pozdrawiam.

[Qń]

Pozostawiłem to Twojej domyślności, ale skoro niesłusznie, to proszę - dla skrócenia zapisu przyjęte zostały oznaczenia:
\(\displaystyle{ s=\sin \alpha\\
c= \cos \alpha}\)

Q.

[offtyper]

Bardzo dziękuję za odpowiedź, jeszcze jakby ktoś mógłby mi pomóc z tymi dwoma byłbym wdzięczny.

1) \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{\sin\alpha} - \frac{1}{\cos\alpha} \right) \cdot \left( 1 + \ctg\alpha + \frac{1}{\ctg\alpha} \right) = \frac{\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos^{2}\alpha}}\)

2) \(\displaystyle{ \frac{\ctg\alpha + \ctg\beta }{\tg\alpha + \tg\beta} = \ctg\alpha \cdot \ctg\beta}\)

Pozdrawiam.

[quebec]

2) Na tej samej zasadzie co ta z pierwszego postu.
\(\displaystyle{ \frac{\ctg \alpha + \ctg \beta }{\tg \alpha +\tg \beta } = \ctg \alpha \cdot \ctg \beta \\
\frac{\ctg \alpha +\ctg \beta }{\frac{1}{\ctg \alpha }+\frac{1}{\ctg \beta }}=\ctg \alpha \cdot \ctg \beta \\
\frac{\ctg \alpha +\ctg \beta }{\frac{\ctg \beta }{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta }+\frac{\ctg \alpha }{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta }}=\ctg \alpha \cdot \ctg \beta \\
\frac{\ctg \alpha +\ctg \beta }{\frac{\ctg \alpha +\ctg \beta }{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta }}=\ctg \alpha \cdot \ctg \beta \\
\frac{\ctg \alpha +\ctg \beta }{\ctg \alpha +\ctg \beta } \cdot \ctg \alpha \cdot \ctg \beta =\ctg \alpha \cdot \ctg \beta \\
1 \cdot \ctg \alpha \cdot \ctg \beta =\ctg \alpha \cdot \ctg \beta}\)
Edit:
1) Trzeba pamiętać, że \(\displaystyle{ tg \alpha=\frac{sin \alpha}{cos \alpha}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{sin \alpha } - \frac{1}{cos \alpha })(1+ctg \alpha +tg \alpha ) = \frac{cos \alpha }{sin^2 \alpha } - \frac{sin \alpha }{cos^2 \alpha }}\)
Wymnażamy stronami, i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha } + \frac{1}{\sin \alpha } \cdot \ctg \alpha +\frac{1}{\sin \alpha } \cdot \tg \alpha -\frac{1}{\cos \alpha }-\frac{1}{\cos \alpha } \cdot \ctg \alpha - \frac{1}{\cos \alpha } \cdot \tg \alpha = \frac{\cos \alpha }{\sin^2 \alpha } - \frac{\sin \alpha }{\cos^2 \alpha }}\)
Zamieniamy \(\displaystyle{ \tg \alpha}\) na \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin^2 \alpha }+\frac{1}{\cos \alpha }-\frac{1}{\cos \alpha } - \frac{1}{\sin \alpha }-\frac{\sin \alpha }{\cos^2 \alpha }= \frac{\cos \alpha }{\sin^2 \alpha } - \frac{\sin \alpha }{\cos^2 \alpha } \\
\frac{\cos \alpha }{\sin^2 \alpha } - \frac{\sin \alpha }{\cos^2 \alpha }= \frac{\cos \alpha }{\sin^2 \alpha } - \frac{\sin \alpha }{\cos^2 \alpha }}\)