równanie z parametrami

kamilekl · Post autor: **kamilekl** » 16 gru 2006, o 13:17

Dla jakich wartości parametrów a i b równanie ma dokładnie 2 rozwiązania
$\displaystyle{ 2$\vert sinxcosx \vert$}$=$\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$
wiem tylko tyle że (chociaż i tego nie jestem pewien) $\displaystyle{ $\vert sin2x \vert$}$=$\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 13:24

masz racje
$\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}>0}$

$\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$

kamilekl · Post autor: **kamilekl** » 16 gru 2006, o 13:41

tak masz racje dziedzina $\displaystyle{ x\in(0;\pi)}$ a jak wyznaczyć te parametry??

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 13:56

nie wiem ejj.. głupio wychodzi:

$\displaystyle{ (a^2 + b^2)(a-b)(a+b)>0}$

oraz

$\displaystyle{ 2b^2(a-b)(a+b)0}$ oraz $\displaystyle{ 2b^2>0}$

zatem równanie $\displaystyle{ (a-b)(a+b)}$ musiałoby być zarazem mniejsze i większe od zera.. bez sensu..

Niech ktos sie nad tym zastanowi..

max · Post autor: **max** » 16 gru 2006, o 14:31

Ostatnia nierówność może być słaba ($\displaystyle{ 2x\in(0,2\pi)}$) stąd
$\displaystyle{ b = 0}$
$\displaystyle{ a \mathbb{R} - \{0\}}$

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 14:36

faktycznie... pomyłka

kamilekl · Post autor: **kamilekl** » 16 gru 2006, o 20:24

to mógłbym poprosić o poprawienie zapisu tych nierównosci i ich rozwiazanie wiem ze to łatwe ale cos mi sie miesza

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 20:37

hmmm zatem rozwiązujemy podwójną nierów..
$\displaystyle{ (a-b)(a+b)\leq0}$

$\displaystyle{ (a-b)(a+b)\geq0}$

z tego wychodzi $\displaystyle{ (a-b)(a+b)=0}$

więc $\displaystyle{ a=b}$ lub $\displaystyle{ a=-b}$

[ Dodano: 16 Grudzień 2006, 20:38 ]
chyba

d(-_-)b · Post autor: **d(-_-)b** » 16 gru 2006, o 21:08

to na pewno nie będzie $\displaystyle{ a=b}$ $\displaystyle{ \vee}$ $\displaystyle{ a=-b}$, gdyż

$\displaystyle{ a^2-b^2\neq 0}$

zauważ, że po prawej stronie równania $\displaystyle{ sin2x=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}$ mamy ułamek, zatem mianownik musi być różny od zera.

sądze że niepotrzebnie bawicie się w nierówności

lepiej by było sprawdzić kiedy $\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\neq 1}$

jednak z drugiej strony zauważmy jeszcze jedną rzecz

podstawmy, np. $\displaystyle{ a=2}$ i $\displaystyle{ b=1}$, wtedy

$\displaystyle{ sin2x=\frac{2^2+1^2}{2^2-1^2}}$
$\displaystyle{ sin2x=\frac{5}{3}}$ - sprzeczność

przecież sinus nie przyjmuje wartości większych od jedynki

zatem musimy założyć że licznik jest mniejszy od mianownika, zatem

$\displaystyle{ a^2+b^2}$

kamilekl · Post autor: **kamilekl** » 16 gru 2006, o 21:36

d(-_-)b to jak to ma byc

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 22:15

jezusie faktycznie... ja slepy już jestem
zadania na pamięć robie:P

kamilekl · Post autor: **kamilekl** » 16 gru 2006, o 22:48

a gdyby było $\displaystyle{ a^2+b^2}$

d(-_-)b · Post autor: **d(-_-)b** » 16 gru 2006, o 23:04

równe automatycznie odpada , gdyż

$\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\neq 1}$

w takim razie podaj dowolne a i b dla których

$\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}< 1}$

zauważ że $\displaystyle{ a^2+b^2>a^2-b^2}$ - sinus będzie przyjmował wartości większe od jedynki dla

$\displaystyle{ b\in R\setminus\{0\}}$

w zerze oczywiście mamy, że $\displaystyle{ sin2x=1}$, ale tam ma tylko jedno rozwiązanie

jeżeli $\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=1}$, to $\displaystyle{ sin2x=1}$, a w przedziale $\displaystyle{ x\in (0,\pi)}$ $\displaystyle{ sin2x=1}$ ma tylko jedno rozwiązanie $\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}$ a zatem warunki zadania nie są spełnione

najlepiej jest zauważyć że w ułamku $\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}$ licznik jest większy od mianownika dla $\displaystyle{ b\in R\setminus\{0\}}$, a przecież tak nie może być bo sin2x przyjmuje maksymalnie wartość równą 1,

natomiast dla $\displaystyle{ b=0}$ sin2x=1[/latex] jest tak jak pisałem wcześniej

już rozumiesz? zauważ że nie ma takiej liczby b

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 gru 2006, o 23:08

Równanie faktycznie jest spełnione tylko dla dowolnego a i b = 0, tylko że ma wtedy jeno jedno rozwiązanie, a nie dwa, jakby chciał autor zadania, więc coś tutaj nie gra ogólnie.

kamilekl · Post autor: **kamilekl** » 16 gru 2006, o 23:14

to równanie w tym przedziale ma chyba 2 aegumenty dla których rozwiazaniem jest 1 tak mi sie wydaje narysuj sobie wykres

[ Dodano: 16 Grudzień 2006, 23:30 ]
dlaczego niby $\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\neq 1}$ jest rózne od 1 i b nalezy do rzeczywistych róznych od zera??

[ Dodano: 17 Grudzień 2006, 15:09 ]
$\displaystyle{ $\vert sin2x \vert$}$ nie przyjmuje czasem na przedziale dla x>0 i mnijszych od Π 2 razy wartości 1 w punkcie Π/4 i 3/4Π????