dwa równania

[s0ull]

Witam, prosiłbym o pomoc przy dwóch zadankach:

zad.1
Uzasadnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}ctg \frac{ \pi }{9} -4cos \frac{\pi}{9} = 1}\)

zad.2
Wiedząc, że \(\displaystyle{ tgx + ctgx = \frac{5}{2}}\) oblicz \(\displaystyle{ tg^{4}x + ctg ^{4}x}\)

pierwszego kompletnie nie mam pomysłu jak ruszyć, w drugim mam:

\(\displaystyle{ tg^{4}x + ctg ^{4}x = (tgx+ctgx)^{4} -(2tg^{2}xctg^{2}x + 2tg^{3}xctgx + 2tgxctg^{3}x)}\), czyli po przekształceniu \(\displaystyle{ \frac{593}{16} - 2tg ^{2}x - \frac{2}{tg ^{2}x } = ???}\)

[mateuszek89]

W 2 zadaniu korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \tg x \cdot \ctg x=1}\) możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ \tg x}\) i \(\displaystyle{ \ctg x}\).

[s0ull]

rzeczywiście, dzięki

EDIT: a na drugie ma ktoś jakiś pomysł może?

[Lorek]

1. Nie wiem czy optymalnie, ale można zacząć tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\ctg \frac{ \pi }{9} -4\cos \frac{\pi}{9}=2\cos \frac{\pi}{9} \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin \frac{\pi}{9}}-2\right)=2\cos \frac{\pi}{9}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{3} -\sin \frac{\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}}-1\right)=2\cos \frac{\pi}{9}\left(2\cos \frac{2\pi}{9}-1\right)=4\cos \frac{\pi}{9}\left(\cos \frac{\pi}{9}-\cos \frac{\pi}{3}\right)}\)
itd.