Największa i najmniejsza wartość

wazorn · Post autor: **wazorn** » 14 lut 2011, o 19:08

Znaleźć o ile to możliwe, największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\arccos x^{2}}\) w przedziale \(\displaystyle{ x\in [\frac{ -\sqrt{2} }{2},\frac{ \sqrt{2} }{2}]}\)

Mam problem, nie wiem od czego zacząć :p

blost · Post autor: **blost** » 14 lut 2011, o 21:05

jak to w zyciu bywa - od pochodnej

wazorn · Post autor: **wazorn** » 14 lut 2011, o 21:58

No tak też zrobiłem , potem wyznaczyłem sobie dziedzine

Przyrównałem do 0 , wyliczyłem x który wychodził 0 i dalej się zatrzymałem

blost · Post autor: **blost** » 15 lut 2011, o 08:13

no i dobrze robisz teraz musisz policzyc wartosci na w tym punkcie oraz na konciach przedziałów. Nie musisz nawet liczyc 2 pochodnej, ponieważ jezeli w x=0 bedziesz mial przegiecie, to zauwazysz to gdyz
\(\displaystyle{ f(\frac{ -\sqrt{2}}{2}) \le f(0) \le f(\frac{ -\sqrt{2}}{2})}\)

lub \(\displaystyle{ ( f(\frac{ -\sqrt{2}}{2}) \ge f(0) \ge f(\frac{ -\sqrt{2}}{2}))}\)

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 15 lut 2011, o 08:24

A ja powiem więcej. W tym typie zadania jeśli któreś z punktów (o ile nie wszystkie) \(\displaystyle{ x_1 , x_2, x_3, ... , x_n}\) jako rozwiązania równania \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) nie są ekstremami tylko punktami "przypadkowymi" (zdarza się) to i tak wartość funkcji w tych punktach nie będzie ani największa, ani najmniejsza*.
Zatem można po prostu policzyć wartość funkcji w każdym z tych punktów \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2), f(x_3), ... , f(x_n)}\), bez zastanawiania się który z nich jest ekstremum, a który nie. Często jest to szybsza metoda niż "bawienie się" w analizowanie każdego z punktów.

*) o ile żaden z nich nie jest krańcem przedziału lub funkcja nie jest stała na całym przedziale Bo sprawdzenie czy dany punkt należy do dziedziny i do rzeczonego przedziału uważam za rzecz oczywistą