Maksymalna wartość

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1114
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 157 razy

Maksymalna wartość

Post autor: Mruczek »

Dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{10}sin \alpha +cos \alpha}\) osiąga wartość maksymalną?
Awatar użytkownika
Le_Quack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 30 maja 2009, o 12:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City 17
Pomógł: 6 razy

Maksymalna wartość

Post autor: Le_Quack »

Musimy znaleźć takie \(\displaystyle{ \alpha}\), żeby zarówno dla \(\displaystyle{ \sin}\) jak i \(\displaystyle{ \cos}\) było ono jak najkorzystniejsze, czyli ich suma jak największa, wtedy ułamek też będzie większy.

Na pewno będzie to I ćwiartka, gdzie obie funkcje przyjmują wartości dodatnie.

Wiedząc, że wartości \(\displaystyle{ \sin}\) w I ćwiartce zmieniają się w zakresie \(\displaystyle{ \langle 0; 1 \rangle}\), zaś \(\displaystyle{ \cos \langle 1; 0 \rangle}\) można wywnioskować, że najlepszy wynik osiągniemy gdy \(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \alpha}\), a jest tak dla \(\displaystyle{ \alpha = 45^{\circ}}\).

To tak na chłopski rozum, ładniej można udowodnić to rachunkiem różniczkowym:

\(\displaystyle{ f(x) = \sin \alpha + \cos \alpha}\)

Przyrównując pierwszą pochodną do 0, otrzymamy wartość maksymalną funkcji:

\(\displaystyle{ f'(x) = 0\\
(\sin \alpha + \cos \alpha)' = 0\\ \\

\cos \alpha - \sin \alpha = 0\\
\cos \alpha = \sin \alpha\\ \\

\cos ^{2} \alpha = 1 - \cos ^{2} \alpha\\
\cos ^{2} \alpha = \frac{1}{2}\\
\cos \alpha = \sqrt{ \frac{1}{2} }\\ \\

\arccos \sqrt{ \frac{1}{2} } = 45 ^{\circ}}\)


Wydaje mi się być dobrze rozwiązane.
Awatar użytkownika
PrzeChMatematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 18 lis 2008, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 20 razy

Maksymalna wartość

Post autor: PrzeChMatematyk »

Le_Quack pisze:...
a nie zjadłeś 1/10 przed sinusem?

niech:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}=\cos(\phi)}\)
\(\displaystyle{ 1=\sin(\phi)}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\sin(\phi)}{\sin(\phi)}=10 \ \ \ \tg(\phi)=10}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}\sin(\alpha)+cos(\alpha)=\cos(\phi)\sin(\alpha)+\sin(\phi)cos(\alpha)=\sin(\alpha+\phi)}\)
sinus daje maksymalną wartość w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \alpha+\phi=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi-\phi}\)
\(\displaystyle{ \alpha=arcctg(10)+2k\pi}\)

policzyć pochodną i przyrównać do 0 oczywiście łatwiej, ale czy ciekawiej?:D
ODPOWIEDZ