Maksymalna wartość
- Le_Quack
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 30 maja 2009, o 12:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: City 17
- Pomógł: 6 razy
Maksymalna wartość
Musimy znaleźć takie \(\displaystyle{ \alpha}\), żeby zarówno dla \(\displaystyle{ \sin}\) jak i \(\displaystyle{ \cos}\) było ono jak najkorzystniejsze, czyli ich suma jak największa, wtedy ułamek też będzie większy.
Na pewno będzie to I ćwiartka, gdzie obie funkcje przyjmują wartości dodatnie.
Wiedząc, że wartości \(\displaystyle{ \sin}\) w I ćwiartce zmieniają się w zakresie \(\displaystyle{ \langle 0; 1 \rangle}\), zaś \(\displaystyle{ \cos \langle 1; 0 \rangle}\) można wywnioskować, że najlepszy wynik osiągniemy gdy \(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \alpha}\), a jest tak dla \(\displaystyle{ \alpha = 45^{\circ}}\).
To tak na chłopski rozum, ładniej można udowodnić to rachunkiem różniczkowym:
\(\displaystyle{ f(x) = \sin \alpha + \cos \alpha}\)
Przyrównując pierwszą pochodną do 0, otrzymamy wartość maksymalną funkcji:
\(\displaystyle{ f'(x) = 0\\
(\sin \alpha + \cos \alpha)' = 0\\ \\
\cos \alpha - \sin \alpha = 0\\
\cos \alpha = \sin \alpha\\ \\
\cos ^{2} \alpha = 1 - \cos ^{2} \alpha\\
\cos ^{2} \alpha = \frac{1}{2}\\
\cos \alpha = \sqrt{ \frac{1}{2} }\\ \\
\arccos \sqrt{ \frac{1}{2} } = 45 ^{\circ}}\)
Wydaje mi się być dobrze rozwiązane.
Na pewno będzie to I ćwiartka, gdzie obie funkcje przyjmują wartości dodatnie.
Wiedząc, że wartości \(\displaystyle{ \sin}\) w I ćwiartce zmieniają się w zakresie \(\displaystyle{ \langle 0; 1 \rangle}\), zaś \(\displaystyle{ \cos \langle 1; 0 \rangle}\) można wywnioskować, że najlepszy wynik osiągniemy gdy \(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \alpha}\), a jest tak dla \(\displaystyle{ \alpha = 45^{\circ}}\).
To tak na chłopski rozum, ładniej można udowodnić to rachunkiem różniczkowym:
\(\displaystyle{ f(x) = \sin \alpha + \cos \alpha}\)
Przyrównując pierwszą pochodną do 0, otrzymamy wartość maksymalną funkcji:
\(\displaystyle{ f'(x) = 0\\
(\sin \alpha + \cos \alpha)' = 0\\ \\
\cos \alpha - \sin \alpha = 0\\
\cos \alpha = \sin \alpha\\ \\
\cos ^{2} \alpha = 1 - \cos ^{2} \alpha\\
\cos ^{2} \alpha = \frac{1}{2}\\
\cos \alpha = \sqrt{ \frac{1}{2} }\\ \\
\arccos \sqrt{ \frac{1}{2} } = 45 ^{\circ}}\)
Wydaje mi się być dobrze rozwiązane.
- PrzeChMatematyk
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 20 razy
Maksymalna wartość
a nie zjadłeś 1/10 przed sinusem?Le_Quack pisze:...
niech:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}=\cos(\phi)}\)
\(\displaystyle{ 1=\sin(\phi)}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\sin(\phi)}{\sin(\phi)}=10 \ \ \ \tg(\phi)=10}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}\sin(\alpha)+cos(\alpha)=\cos(\phi)\sin(\alpha)+\sin(\phi)cos(\alpha)=\sin(\alpha+\phi)}\)
sinus daje maksymalną wartość w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \alpha+\phi=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi-\phi}\)
\(\displaystyle{ \alpha=arcctg(10)+2k\pi}\)
policzyć pochodną i przyrównać do 0 oczywiście łatwiej, ale czy ciekawiej?:D