Okresowość funkcji

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Kapustnik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 lut 2011, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dolny Śląsk
Podziękował: 3 razy

Okresowość funkcji

Post autor: Kapustnik »

Udowodnij, iż funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sin x^{2}}\) jest okresowa - lub też nie jest. Myślałem nad tym trochę i doszedłem do wniosku, że ta funkcja okresowa nie będzie. Nie mam pojęcia jak to rozpisać - trzeba byłoby pozbyć się kwadratu, myślałem, by podzielić \(\displaystyle{ x^{2}}\) przez logarytm z \(\displaystyle{ x}\) o podstawie \(\displaystyle{ \pi}\), lub innej podobnej, np. \(\displaystyle{ 2\pi}\), \(\displaystyle{ \pi^{2}}\). Gdy po podzieleniu przez logarytm wyglądało by tak: \(\displaystyle{ f(x)=a \cdot \sin bx}\), czyli ta funkcja była by okresowa, a ta pierwsza nie (tak mi się wydaje). Nie jestem przekonany nad słusznością mojego myślenia - może poradził bym sobie sam, gdybym miał odpowiednio większą wiedzę.
abc666

Okresowość funkcji

Post autor: abc666 »

A znasz definicję funkcji okresowej? Skorzystaj z niej.
Kapustnik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 lut 2011, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dolny Śląsk
Podziękował: 3 razy

Okresowość funkcji

Post autor: Kapustnik »

Nie jestem pewien, ale wydaje mi się, że to będzie mniej więcej tak:
\(\displaystyle{ f(x)=f(x+kT)}\), \(\displaystyle{ k \in \mathbb{C}}\),
Gdzie \(\displaystyle{ T}\) to okres.

Nawet jeśli znam ten wzór, to dalej nic nie potrafię wymyślić, ta funkcja mnie przerasta (a bynajmniej tak mi się wydaje).
Myślałem trochę, że problem ten jakoś można uprościć, tylko jeszcze nie wiem jak.
abc666

Okresowość funkcji

Post autor: abc666 »

Załóż, że funkcja ma okres i pokaż sprzeczność. Podstaw \(\displaystyle{ x=0}\). potem innego \(\displaystyle{ x}\) i wylicz okres, pokaż, że jeden nie jest całkowitą wielokrotnością drugiego.
Kapustnik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 lut 2011, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dolny Śląsk
Podziękował: 3 razy

Okresowość funkcji

Post autor: Kapustnik »

(Nie jestem pewien co do słuszności obliczeń ani moich stwierdzeń, pisałem tak jak mi się wydawało.)

Podążając za twoim tokiem rozumowania, wyglądało by to tak:
\(\displaystyle{ f(0) = sin \ 0^{2}}\),
\(\displaystyle{ f(0) = sin \ 0}\),
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\).

Aby wartość sinusa była równa zeru, liczba spod sinusa musi być wielokrotnością \(\displaystyle{ \pi}\). Może nie jest to najlepsza definicja, ale fakt iż moje kształcenie sięga gimnazjum, nie daje mi możliwości podania innej.
Tak więc, \(\displaystyle{ sin \ k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{C}}\), zawsze będzie równe zero. Więc \(\displaystyle{ sin \ x^{2}}\) będzie równe zero, gdy \(\displaystyle{ x^{2}=k \pi}\), \(\displaystyle{ x= \sqrt{k \pi} \ \vee \ x= - \sqrt{k \pi}}\). Z tego wynika, że funkcja ta jest funkcją symetryczną. Więc do następnych działań wykorzystam tylko jej "prawą" część.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ k=1}\). Więc \(\displaystyle{ x=\sqrt{ \pi}}\). W tym wypadku rzekomy okres wynosi \(\displaystyle{ \sqrt \pi}\). Jeżeli to prawda, dla \(\displaystyle{ k=2}\) wartość \(\displaystyle{ x}\) będzie równa \(\displaystyle{ x=2 \sqrt{ \pi}}\), czyli \(\displaystyle{ x=\sqrt{4 \pi}}\), więc będzie zachodziła równość \(\displaystyle{ \sqrt {4 \pi} = \sqrt{2 \pi}}\), co jest nieprawdą. Dowiodłem tu, że funkcja ta nie jest okresowa, lecz pewien mój nauczyciel sądzi po wykresie tej funkcji - jej szczyty i doliny cały czas są coraz gęściej położone - że zaczną one w pewnym punkcje się "rozrzedzać", a odległość tego punktu od osi Y będzie dokładnie równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2} T}\). Jakich mógłbym użyć dowodów matematycznych, rozstrzygając tą sprawę?-- 19 lut 2011, o 19:41 --Poradziłem sobie już z tym, wyliczyłem wzór na podawanie kolejnych odstępów pomiędzy miejscami zerowymi.

abc666, byłeś pomocny, dzięki!
ODPOWIEDZ