Tożsamość trygonometryczna. Hard.

Prasiuk · Post autor: **Prasiuk** » 13 lut 2011, o 21:51

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym to:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{\left( 1- \sin \alpha \right)^2} - \frac{1}{\ \left( 1+ \sin \alpha \right)^2}}{ \frac{1}{\left( 1- \cos \alpha \right)^2} - \frac{1}{\ \left( 1+ \cos \alpha \right)^2} } =\tg^5 \alpha}\)

Zależy mi na szybkiej pomocy.

Pierwszy i ostatni raz poprawiam post napisany bez użycia LaTeXa. Polecam zapoznać się z instrukcją LaTeXa oraz Regulaminem forum. Życzę barwnego dnia. Dasio11

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 13 lut 2011, o 22:00

jedynka trygonometryczne, pewnie da rade zrobić
P.S popraw ten post, bo zaraz wyleci do kosza

Post autor: **Jan Kraszewski** » 13 lut 2011, o 22:04

Sprowadź ułamki w liczniku i mianowniku do wspólnych mianowników.

JK

Prasiuk · Post autor: **Prasiuk** » 13 lut 2011, o 22:07

O tym też pomyślałem tylko nie wiem czy zrobiłem dobrze.
Wspólny mianownik w liczniku uzyskałem \(\displaystyle{ 1-2sin ^{2} \alpha + sin^{4} \alpha}\)
W mianowniku wspólny mianownik wychodzi analogicznie.

Post autor: **Dasio11** » 13 lut 2011, o 22:09

Nie było potrzeby wymnażać nawiasu. Wystarczy zauważyć, że

\(\displaystyle{ \left( 1+ \cos \alpha \right)^2 \left( 1- \cos \alpha \right)^2 = \bigg( \left( 1+ \cos \alpha \right) \left( 1- \cos \alpha \right) \bigg)^2 = \bigg( 1-\cos^2 \alpha \bigg)^2 = \sin^4 \alpha.}\)

Podobnie z cosinusem.

Prasiuk · Post autor: **Prasiuk** » 13 lut 2011, o 22:17

To w takim razie uzyskam w mianowniku następujące wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{(1-cos \alpha)^{2} - (1+cos \alpha)^{2}}{sin^{4}\alpha}}\)
Mam rację? Nie mam...zapewne

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 13 lut 2011, o 22:20

a co masz w liczniku?

Post autor: **Dasio11** » 13 lut 2011, o 22:21

No, prawie. Powinno wyjść

\(\displaystyle{ \frac{ \left( 1+ \cos \alpha \right)^2 - \left( 1 - \cos \alpha \right)^2}{\sin^4 \alpha}.}\)

Prasiuk · Post autor: **Prasiuk** » 13 lut 2011, o 22:28

Więc analogicznie postępując z licznikiem uzyskam
\(\displaystyle{ \frac{\frac{ \left( 1+ \sin \alpha \right)^2 - \left( 1 - \sin \alpha \right)^2}{\cos^4 \alpha}}{\frac{ \left( 1+ \cos \alpha \right)^2 - \left( 1 - \cos \alpha \right)^2}{\sin^4 \alpha}}}\)
Potem wzorami skróconego mogę się pozbyć góry i uzyskać:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{4sin\alpha}{cos^{4} \alpha} }{ \frac{4cos\alpha}{sin^{4} \alpha} }}\)

Post autor: **Dasio11** » 13 lut 2011, o 22:31

Fantastycznie. Została już tylko puenta.

Prasiuk · Post autor: **Prasiuk** » 13 lut 2011, o 22:34

Jeśli mi powiesz, że \(\displaystyle{ tg^{5}= \frac{sin^{5}}{cos^{5}}}\)to chyba będę w domu.
... W sumie głupie pytanie.

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 13 lut 2011, o 22:37

jesteś w domu

Adam656 · Post autor: **Adam656** » 13 lut 2011, o 23:12

Prasiuk te zadanie masz z podręcznika do I klasy Pawłowskiego czy z "Krowy"

Na przyszłość proszę takie pytania zadawać w prywatnej wiadomości. Życzę barwnego dnia. Dasio11

Prasiuk · Post autor: **Prasiuk** » 14 lut 2011, o 20:19

Te zadania mam nie wiem skąd, bo są mi dane przez nauczyciela na kartce.

Odpowiedź też... -_- Dasio11