nierówność z trygonometrią

kabatkubol · Post autor: **kabatkubol** » 12 lut 2011, o 16:27

Męczę się z jednym z zadań z egzaminu. Nie mogę dojść do niczego konkretnego.

\(\displaystyle{ tg t + ctg t > \frac{4 \sqrt{3}}{3}}\)

dodatkowo zilustrować rozwiązanie na okręgu.

Na kartce na egzaminie podane się pomocne (lub nie) liczby:

\(\displaystyle{ sin 210 = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos 330= \frac{ \sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos 135= - \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ tg 7,5 = \sqrt{6}-2- \sqrt{3} + \sqrt{2}}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 12 lut 2011, o 16:30

wyraź tangensa i cotangensa jako stosunek odpowiednich funkcji i sprowadź do wspólnego mianownika

kabatkubol · Post autor: **kabatkubol** » 12 lut 2011, o 16:36

zrobiłem tak.
Doszedłem do takiego wyrażenia

\(\displaystyle{ \frac{1}{cost sint} > \frac{4 \sqrt{3} }{3}}\)

Dalej nie wiem co robić.

Przerzucam prawą stronę na lewą i sprowadzam do wspólnego mianownika

\(\displaystyle{ \frac{3- 4 \sqrt{3} cost sint }{3 cost sin t} > 0}\)

I nic z tego nie widzę.

ares41 · Post autor: **ares41** » 12 lut 2011, o 16:38

wzór na sinus kąta podwojonego....

kabatkubol · Post autor: **kabatkubol** » 12 lut 2011, o 16:46

hmm.. zastosowałem ten wzór w liczniku i mianowniku i mam takie coś.

\(\displaystyle{ \frac{6- 4 \sqrt{3} sin 2t }{3 sin2t} > 0}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 12 lut 2011, o 16:48

no podstaw sobie \(\displaystyle{ x=\sin{2t}}\) i masz nierówność wymierną...

kabatkubol · Post autor: **kabatkubol** » 12 lut 2011, o 16:59

\(\displaystyle{ (6-4 \sqrt{3}x)(3x) > 0}\)
\(\displaystyle{ 18x - 12 \sqrt{3}x^{2} > 0}\)
\(\displaystyle{ x > \frac{ \sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin2t > \frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

Super Ale jak to dalej zapisać? Co jest odpowiedzią tej nierówności?
I jak to pokazać na okręgu?

\(\displaystyle{ sin2t > sin 60}\)
\(\displaystyle{ sint > sin 30}\)
\(\displaystyle{ t > 30}\)

czyli wynika to z tego, że na okręgu zaznaczam odpowiedź w taki sposób, że wartości sinusa powyżej 30 stopni, ale tylko do 160 stopni tylko, tak? Bo sin 160 i powyżej ma mniejszą wartość niż sin 30 i wtedy nierówność nie będzie zachowana.

Dobrze mówię?

Zastanawiam się jeszcze tylko nad wielokrotnościami tego przedziału. Bo przecież sin 391 też powinien chyba być prawidłową odpowiedzią. Jak to zapisać?

ares41 · Post autor: **ares41** » 13 lut 2011, o 11:48

nie za dobrze.
rozwiązaniem pierwszej nierówności jest:
\(\displaystyle{ x \in \left(0; \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)}\),
co jest równoważne układowi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>0 \\ x<\frac{ \sqrt{3} }{2} \end{cases}}\)

teraz powróć z podstawienia i masz do rozwiązania prosty układ nierówności trygonometrycznych....

kabatkubol · Post autor: **kabatkubol** » 13 lut 2011, o 14:27

dzięki wielkie za pomoc.