Wartość funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta

[karu]

Mam problem z obliczeniem funkcji \(\displaystyle{ sin\alpha}\) bądź \(\displaystyle{ cos\alpha}\) dla kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{10}}\)?

Próbowałem przez sumę różnych kątów, kombinowanie coś wyprowadzić z tego wzoru: \(\displaystyle{ cos2\alpha}\) podobnie jak na wyprowadzenie wzorów na \(\displaystyle{ sin\frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ cos\frac{\alpha}{2}}\), próbowałem też kilku innych sposobów, ale ten kąt mnie przerósł.

ps Kąt ten jest mi potrzebny przy wyznaczeniu pierwiastków z \(\displaystyle{ \sqrt[5]{i}}\) z wykorzystaniem postaci trygonometrycznej, bo już przy \(\displaystyle{ k=0}\) pojawia się \(\displaystyle{ \frac{\pi}{10}}\) dla kąta należącego: \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi}\)

[math questions]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{2}(5+ \sqrt{5} }}\)

[karu]

Tylko byłoby miło gdybyś wytłumaczył jak osiągnąłeś ten wynik albo przynajmniej powiedział z jakich zależności trygonometrycznych lub czysto matematycznych korzystałeś.

ps Nie zamknąłeś nawiasu pod pierwiastkiem