Oblicz wartość
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13}}\)
bez kalkulatora
-
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
bez kalkulatora
stosujesz wzor dla dwoch pierwszych cosinusów
\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot c = (d+ e ) \cdot c= d \cdot c + \cdot e \cdot c= drugi \ raz \ wzor \ dla \ kazdego \ osobno}\)
gdzie literki oznaczaja kolejne cosinusy
\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot c = (d+ e ) \cdot c= d \cdot c + \cdot e \cdot c= drugi \ raz \ wzor \ dla \ kazdego \ osobno}\)
gdzie literki oznaczaja kolejne cosinusy
-
- Użytkownik
- Posty: 874
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wszedzie
- Podziękował: 248 razy
- Pomógł: 10 razy
bez kalkulatora
o co tu chodzi?sushi pisze:stosujesz wzor dla dwoch pierwszych cosinusów
\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot c = (d+ e ) \cdot c= d \cdot c + \cdot e \cdot c= drugi \ raz \ wzor \ dla \ kazdego \ osobno}\)
gdzie literki oznaczaja kolejne cosinusy
bez kalkulatora
sushi, do tego sam doszedłem.
Po rozpisaniu wychodzi:
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13}=\frac{1}{4}\left(\cos\frac{2\pi}{13}+\cos\frac{6\pi}{13}+\cos\frac{8\pi}{13}+1\right)}\)
Co dalej?-- 15 lut 2011, o 13:05 --Ma ktoś jakiś pomysł?
Po rozpisaniu wychodzi:
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13}=\frac{1}{4}\left(\cos\frac{2\pi}{13}+\cos\frac{6\pi}{13}+\cos\frac{8\pi}{13}+1\right)}\)
Co dalej?-- 15 lut 2011, o 13:05 --Ma ktoś jakiś pomysł?
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
bez kalkulatora
Być może coś takiego się przyda:
Rozważmy tożsamości:
\(\displaystyle{ 2\cos\frac{k\pi}{13}\sin\frac{k\pi}{13}=\sin\frac{2k\pi}{13}}\)
dla \(\displaystyle{ k=1,2,4,8,3}\)
oraz tożsamość:
\(\displaystyle{ -2\cos\frac{6\pi}{13}\sin\frac{6\pi}{13}=\sin\frac{\pi}{13}}\).
Wszystkie są ze wzoru na sinus podwojonego kąta. Liczby \(\displaystyle{ 1,2,4,8,3,6}\) to kolejne potęgi \(\displaystyle{ 2}\) modulo \(\displaystyle{ 13}\), gdyby ktoś się zastanawiał, dlaczego właśnie te.
Wymnażając wszystkie sześć tożsamości stronami i skracając występujące po obu stronach sinusy otrzymujemy:
\(\displaystyle{ -2^{6}\prod_{k\in\{1,2,4,8,3,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=1}\),
czyli
\(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,2,3,4,8,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=-\frac{1}{2^6}}\)
lub równoważnie:
\(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,2,3,4,5,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=\frac{1}{2^6}}\).
Nas interesuje liczba \(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,3,4\}}\cos\frac{k\pi}{13}}\).
To samo można szybciej otrzymać z tożsamości:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{n}=\frac{\sin\frac{n\pi}2}{2^{n-1}}}\).
Aktualizacja: Zgadując, że to ma coś wspólnego z \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) i oczywiście używając kalkulatora taki strzał:
\(\displaystyle{ \frac{229\sqrt{13}}{2000}}\)
co nie napawa optymizmem. To znaczy bez jakiegoś solidnie rozwiniętego aparatu takiej liczby się nie znajdzie.
Rozważmy tożsamości:
\(\displaystyle{ 2\cos\frac{k\pi}{13}\sin\frac{k\pi}{13}=\sin\frac{2k\pi}{13}}\)
dla \(\displaystyle{ k=1,2,4,8,3}\)
oraz tożsamość:
\(\displaystyle{ -2\cos\frac{6\pi}{13}\sin\frac{6\pi}{13}=\sin\frac{\pi}{13}}\).
Wszystkie są ze wzoru na sinus podwojonego kąta. Liczby \(\displaystyle{ 1,2,4,8,3,6}\) to kolejne potęgi \(\displaystyle{ 2}\) modulo \(\displaystyle{ 13}\), gdyby ktoś się zastanawiał, dlaczego właśnie te.
Wymnażając wszystkie sześć tożsamości stronami i skracając występujące po obu stronach sinusy otrzymujemy:
\(\displaystyle{ -2^{6}\prod_{k\in\{1,2,4,8,3,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=1}\),
czyli
\(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,2,3,4,8,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=-\frac{1}{2^6}}\)
lub równoważnie:
\(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,2,3,4,5,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=\frac{1}{2^6}}\).
Nas interesuje liczba \(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,3,4\}}\cos\frac{k\pi}{13}}\).
To samo można szybciej otrzymać z tożsamości:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{n}=\frac{\sin\frac{n\pi}2}{2^{n-1}}}\).
Aktualizacja: Zgadując, że to ma coś wspólnego z \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) i oczywiście używając kalkulatora taki strzał:
\(\displaystyle{ \frac{229\sqrt{13}}{2000}}\)
co nie napawa optymizmem. To znaczy bez jakiegoś solidnie rozwiniętego aparatu takiej liczby się nie znajdzie.