Wykaż, że dla każdej pary dodatnich liczb rzeczywistych a i b równanie \(\displaystyle{ asin^{2}x=bcosx}\) ma dokładnie jeden pierwiastek należący do przedziału (0,pi)
Prosze o pomoc w rozwiązaniu;-)
równanie z dwoma parametrami
-
Kumek
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 12 sie 2005, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łomża
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 16 razy
równanie z dwoma parametrami
przedstawmy to równanie jako:
\(\displaystyle{ a(1-cos^{2}x)=bcosx}\)
\(\displaystyle{ acos^{2}x+bcosx-a=0}\)
oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=acos^{2}x+bcosx-a}\)
poniewaz rownanie to jest drugiego stopnia i ma miec pierwiastek w przedziale (0,pi) wystarczy nam sprawdzic czy przecina w tym przedziale os, tzn czy na koncach tych przedzialow przyjmuje wartosci o przeciwnych znakach(badz tez w 2 pktach z tego przedzialu), korzystamy tutaj oczywiscie z ciaglosci funkcji cosinus i z tw. o zerowaniu sie funkcji ciaglej
latwo mozna sprawdzic ze f(0)=b , f(pi)=-b co w zupelnosci wystarczy
\(\displaystyle{ a(1-cos^{2}x)=bcosx}\)
\(\displaystyle{ acos^{2}x+bcosx-a=0}\)
oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=acos^{2}x+bcosx-a}\)
poniewaz rownanie to jest drugiego stopnia i ma miec pierwiastek w przedziale (0,pi) wystarczy nam sprawdzic czy przecina w tym przedziale os, tzn czy na koncach tych przedzialow przyjmuje wartosci o przeciwnych znakach(badz tez w 2 pktach z tego przedzialu), korzystamy tutaj oczywiscie z ciaglosci funkcji cosinus i z tw. o zerowaniu sie funkcji ciaglej
latwo mozna sprawdzic ze f(0)=b , f(pi)=-b co w zupelnosci wystarczy