Sprawdź, czy istnieje taki kąt...

matibialy2 · Post autor: **matibialy2** » 5 lut 2011, o 22:42

Sprawdź czy istnieje taki kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\), że:

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} ;\\
\cos \alpha = \sqrt{ \frac{ \sqrt{5} -1}{2} }}\)?

irena_1 · Post autor: **irena_1** » 5 lut 2011, o 22:48

Najlepiej sprawdzić przy pomocy jedynki trygonometrycznej
\(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}+\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{4}{4}=1}\)

Taki kąt istnieje

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 5 lut 2011, o 22:50

\(\displaystyle{ t= \frac{\sqrt5-1}{2}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \sin \alpha=t, \cos\alpha= \sqrt{t}}\).

\(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \\
t^2+|t|=1 \\
t^2-t-1=0 \vee t^2+t-1=0 \\
t= \frac{\sqrt5+1}{2} \vee t=- \frac{\sqrt5-1}{2} \vee t=- \frac{\sqrt5+1}{2} \vee t= \frac{\sqrt5-1}{2}}\)
A więc istnieje taki kąt.