rozwiązac nierównośc arcsin

[asius]

proszę o pomoc w rozwiązaniu nierówności
\(\displaystyle{ arcsin \frac{2x}{1+x ^{2} } < \frac{ \pi }{4}}\)

[ares41]

Skorzystaj z tego, że ta funkcja jest różnowartościowa i rosnąca.

Wykorzystaj również definicję arcusa:

\(\displaystyle{ \arcsin{t}= \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \sin{ \frac{\pi}{4} }=t}\)

[asius]

obliczyłam z definicji że \(\displaystyle{ x _{1}= \sqrt{2}-1}\) i
\(\displaystyle{ x _{2}= \sqrt{2}+1}\)
ale gdy \(\displaystyle{ sin \frac{ \pi }{4}= \frac{2x}{1+x ^{2} }}\).
czy teraz muszę za arcsin wstawic moje \(\displaystyle{ x _{1} i x _{2}}\) ze znakiem mniejszości ?
czy może za sam x podstawic moje wartości w arcsin...

[ares41]

\(\displaystyle{ \arcsin{t}= \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \sin{ \frac{\pi}{4} }=}\)t

Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ t= \frac{sqrt{2}}{2}}\)

Mamy więc:
\(\displaystyle{ \arcsin{ \frac{2x}{1+x ^{2} }} < \frac{ \pi }{4}\\
\arcsin{ \frac{2x}{1+x ^{2} }} < \arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\}\)

Z tego, że ta funkcja jest rosnąca i różnowartościowa mamy:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{1+x ^{2} }<\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Rozwiązanie tej nierówności należy jeszcze skonfrontować z dziedziną arcusa,
czyli:
\(\displaystyle{ \left|\frac{2x}{1+x ^{2} }\right| \le 1}\)

[asius]

Aha, to w ten sposób. Teraz juz rozumiem. Dzięki -- 5 lut 2011, o 11:27 --a czy dziedziną arcsin nie jest przedział <-1,1> ?

[ares41]

a czy dziedziną arcsin nie jest przedział <-1,1> ?

\(\displaystyle{ y\in \langle -1;1\rangle \Leftrightarrow |y| \le 1}\)