Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru

[Żelazny]

Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametru m.

\(\displaystyle{ sin^4x-cos^4x=m^2-3}\)

[greey10]

\(\displaystyle{ (\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x})(\sin^{2}{x}-\cos^{2}{x})=m^{2}-3\\
\cos^{2}{x}-sin^{2}{x}=3-m^{2}\\
\cos{2x}=3-m^{2}}\)
napewno \(\displaystyle{ \sqrt{2}\leq{m}}\) oraz \(\displaystyle{ m\leq{2}}\) bo -1

[Calasilyar]

\(\displaystyle{ sin^{4}x-cos^{4}x=sin^{2}x-cos^{2}x=-cos2x=m^{2}-3\\
cos2x=3-m^{2}}\)
dla
\(\displaystyle{ -1< 3-m^{2}< 1}\)
będą dwa rozwiązania

dla
\(\displaystyle{ 3-m^{2}=1\;\vee\; 3-m^{2}=-1}\) będzie jedno rozwiązanie

jeżeli \(\displaystyle{ -1>3-m^{2}\;\vee\; 3-m^{2}> 1}\)
nie ma rozwiązań

(rozwiązanie=seria rozwiązań)

[jasny]

\(\displaystyle{ \cos{2x}=3-m^2}\)
\(\displaystyle{ -1\leq 3-m^2\,\wedge\,3-m^2\leq1}\)
\(\displaystyle{ m^2\leq4\,\wedge\,m^2\geq2}\)
\(\displaystyle{ m\in\cup}\) - wtedy cosinus jest określony, równanie ma więc nieskończenie wiele rozwiązań (okresowych).
Kiedy \(\displaystyle{ m\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt2;\sqrt2)\cup(2;+\infty)}\) - równanie nie ma rozwiązań.

[Żelazny]

Dzięki wszystkim .