witam mam problemik z takim "trywialnym" zadankiem.
Nie wiem jak do tego podejść prosze o wskazówki albo rozwiązanie z wytłumaczeniem.
Wiedząc, że
\(\displaystyle{ sin(4*36') = sin36'}\), oblicz \(\displaystyle{ cos36'}\)
Dziękuje z góry,
wiedząc, że...
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
wiedząc, że...
Temat trochu nietęgi.
\(\displaystyle{ \sin (\frac{4\pi}{5}) = \sin \frac{\pi}{5} \\ 2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \sin \frac{\pi}{5} \\ 4 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} (2 \cos^{2} \frac{\pi}{5} - 1) = \sin \frac{\pi}{5} \\ 8 \cos^{3} \frac{\pi}{5} - 4 \cos \frac{\pi}{5} = 1 \\ \cos^{3} \frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{5} - \frac{1}{8} = 0}\)
I tutaj się o tyle robią schody, że to równanie nie ma pierwiastków wymiernych (co dość oczywiste). Można oczywiście korzystać tutaj ze wzorów Cardana, a potem (wiedząc ile to jest sinus 36 stopni) podać wynik, ale to sztuczne i naciągane.
Dlatego trzeba tutaj by coś sprytnego wymyślić.
\(\displaystyle{ \sin (\frac{4\pi}{5}) = \sin \frac{\pi}{5} \\ 2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \sin \frac{\pi}{5} \\ 4 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} (2 \cos^{2} \frac{\pi}{5} - 1) = \sin \frac{\pi}{5} \\ 8 \cos^{3} \frac{\pi}{5} - 4 \cos \frac{\pi}{5} = 1 \\ \cos^{3} \frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{5} - \frac{1}{8} = 0}\)
I tutaj się o tyle robią schody, że to równanie nie ma pierwiastków wymiernych (co dość oczywiste). Można oczywiście korzystać tutaj ze wzorów Cardana, a potem (wiedząc ile to jest sinus 36 stopni) podać wynik, ale to sztuczne i naciągane.
Dlatego trzeba tutaj by coś sprytnego wymyślić.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
wiedząc, że...
Wcale się nie robią schody, bo równanieRogal pisze:\(\displaystyle{ \cos^{3} \frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{5} - \frac{1}{8} = 0}\)
I tutaj się o tyle robią schody, że to równanie nie ma pierwiastków wymiernych
\(\displaystyle{ x^3-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}=0}\)
ma jeden pierwiastek wymierny, potem korzystając z twierdzenia Bezout można dojść do trójmianu, a tego pierwiastki już łatwo policzyć, a który z 3 jest właściwy? Dodatni (jest tylko jeden taki), bo \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5}>0}\) .