Sproro zadań z trygonometrii. Poziom podstawowy.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
rainbowxxl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 15 lis 2006, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 10 razy

Sproro zadań z trygonometrii. Poziom podstawowy.

Post autor: rainbowxxl »

Witam. Mam straszny problem z trygonometrią. Nie potrafie rozwiązać ządego z podanych zadań, proszę o pomoc chociaz w niektórych.

1.Sprawdź czy istnieje taki kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{2}{3}}\) i \(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{4}{5}}\). Odpowiedź uzasadnij.

2.Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\cos^{2}x-5}\). Czy zbiór wartości tej funkcji zawiera się w przedziale (-5;-4)?

3.Oblicz \(\displaystyle{ \sin\frac{\Pi}{12}}\), korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\ cos\beta-\sin\beta \cos\alpha}\). Wynik przedstaw w najprostrzej postaci.

4.Oblicz bez użycia tablic, wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ W=(\sin 16^{\circ}-\cos 16^{\circ})^{2}+(\sin 16^{\circ}+\cos 16^{\circ})^{2}+3tg25^{\circ}ctg25^{\circ}}\).

5.Sprawdź tożsamość:\(\displaystyle{ 1-2\cos^{2}x=\frac{1-ctg^{2}x}{1+ctg^{2}x}}\).

6.Sprawdź czy isntniej taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ m}\) że \(\displaystyle{ \sin\alpha=m-1\wedge \cos\alpha=m+1}\) dla pewnego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).
Ostatnio zmieniony 10 gru 2006, o 12:44 przez rainbowxxl, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Sproro zadań z trygonometrii. Poziom podstawowy.

Post autor: Lorek »

1.
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\\cos =\frac{\sin }{tg\alpha}=\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=-\frac{5}{6}}\)
teraz trzeba sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{9}+\frac{25}{36}=\frac{41}{36}\neq 1}\)
czyli taki kąt nie istnieje

2. Zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ \cos^2 x}\) jest \(\displaystyle{ }\), więc zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ \cos^2 x -5}\) jest \(\displaystyle{ }\)

3. \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{12}=\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})}\)
i dalej z tego wzoru (wartości funkcji dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4},\: \frac{\pi}{6}}\) są znane)

4. Rozpisujesz nawiasy, skracasz, co się da i korzystasz z tożsamości \(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2 =1}\) i \(\displaystyle{ tg\beta ctg\beta=1}\)

5. \(\displaystyle{ P=\frac{1-ctg^2 x}{1+ctg^2 x}=}\)(mnożymy przez \(\displaystyle{ \sin^2 x}\)) \(\displaystyle{ =\frac{\sin^2x-\cos^2 x}{\sin^2 x+\cos^2 x}=\sin^2 x-\cos^2 x=\\\\=\sin^2 x+\cos^2x-\cos^2x-\cos^2x=1-2\cos^2 x=L}\)

6. Ponownie korzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli gdyby takie \(\displaystyle{ m}\) istniało, to
\(\displaystyle{ (m-1)^2+(m+1)^2=1\\2m^2+2=1\\m^2=-\frac{1}{2}}\)
ostatnia równość jest sprzeczna, więc takie \(\displaystyle{ m}\) nie istnieje
ODPOWIEDZ