Nierówność trygonometryczna.

[aerow]

Proszę o sprawdzenie rozwiązania do zadania.
Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ x \in (0; \frac{ \pi }{2} )}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ tgx + \frac{1}{sinx} - \frac{sinx}{1+cosx} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx}+ \frac{1}{sinx} - \frac{sinx}{1+cosx} - 2 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x(1+cosx) + cosx(1+cosx) - sin^{2}x*cosx - 2*sinx*cosx(1+cosx) }{cosx*sinx*(1+cosx)} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x +sin^{2}x*cosx+cosx+cos^{2}x-sin^{2}x*cosx - 2*sinx*cosx - 2sinx*cos^{2}x }{cosx*sinx*(1+cosx)} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{(1-2*sinx*cosx)(cosx+1) }{cosx*sinx*(1+cosx)} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (1-2*sinx*cosx)(cosx+1)(1+cosx)*cosx*sinx \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (1-2*sinx*cosx)=sin^{2}x+cos^{2}x-2*sinx*cosx= (sinx - cosx)^{2}}\)

\(\displaystyle{ (sinx - cosx)^{2} * (cosx +1)^{2} * sinx*cosx \ge 0}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ x \in (0; \frac{ \pi }{2} ) (sinx - cosx)^{2}\ge 0 \wedge (cosx +1)^{2}\ge 0 \wedge sinx*cosx \ge 0}\)

Czyli
\(\displaystyle{ (sinx - cosx)^{2} * (cosx +1)^{2} * sinx*cosx \ge 0}\)

Z góry dziękuję za sprawdzenie.
Pozdrawiam

[lukasz1804]

Rozwiązanie jest tyle poprawne, co niezbyt porządne (wystarczyłoby uzasadnić, że kolejne przekształcenia się równoważne, ewentualnie poprowadzić wnioskowanie nie wprost).

Najporządniej byłoby tak przekształcać lewą stronę nierówności, by przez ciąg kolejnych nierówności upewnić się, że lewa strona jest nie mniejsza od prawej.

Do tego, już w nierówności \(\displaystyle{ \frac{(1-2\sin x\cos x)(\cos x+1)}{\cos x\sin x(1+\cos x)}\ge 0}\) można uprościć \(\displaystyle{ \cos x+1=1+\cos x}\) (wiedząc, że dla danych wartości \(\displaystyle{ x}\) wyrażenie to nie przyjmuje wartości zero).